Esimerkkejä

1. Kolmioepäyhtälö ja Schwarzin epäyhtälö

Jos \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) ovat vektoreita, joille \(||\mathbf{v}|| = 5\) ja \(||\mathbf{w}|| = 3\), niin laske

  1. \(||\mathbf{v} -\mathbf{w} ||\) suurin ja pienin arvo,
  2. \(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}\) suurin ja pienin arvo.

Ratkaisu

Tarvittaessa arvioita vektorien normeille, ehdottomasti tehokkaimmat työkalut ovat kolmioepäyhtälö: \(\big| ||\mathbf{x}||-||\mathbf{y}|| \big|\leq ||\mathbf{x}-\mathbf{y}||\leq ||\mathbf{x}||+||\mathbf{y}||\), sekä Cauchy-Schwarzin epäyhtälö: \(|\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}|\leq ||\mathbf{x}||||\mathbf{y}||\).

  1. Aloitetaan arvioimalla lauseketta \(||\mathbf{v}-\mathbf{w}||\): \[ \big| \|\mathbf{v}\|-\|\mathbf{w}\| \big|\leq \|\mathbf{v} - \mathbf{w} \| = \|\mathbf{v} + (-\mathbf{w}) \| \leq \|\mathbf{v} \| + \|-\mathbf{w}\| = \|\mathbf{v} \| + \|\mathbf{w}\|. \]
  2. Koska \(\|\mathbf{v}\| = 5 \) ja \(\|\mathbf{w}\| = 3\), saadaan nämä sijoittamalla ala- ja yläraja erotukselle:

    \begin{align*} &\big| 5-3 \big|\leq \|\mathbf{v} - \mathbf{w} \| \leq 5 + 3 \\ &\Rightarrow 2 \leq \| \mathbf{v}-\mathbf{w}\| \leq 8. \end{align*}
  3. Arvioidaan sisätuloa \(\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}\). Euklidisessa avaruudessa, kuten \(\mathbb{R}^n\), pistetulon määritelmä on \[ \mathbf{v}\cdot \mathbf{w} = \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{w}\| \cos \theta, \] missä \(\theta\) on vektorien väliin jäävä kulma. Koska \(-1\leq \cos \theta \leq 1\), saadaan \begin{align*} -\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{w}\| &\leq \mathbf{v}\cdot \mathbf{w} \leq \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{w}\| \\ -(5\cdot 3) & \leq \mathbf{v}\cdot \mathbf{w} \leq 5\cdot 3 \\ -15 & \leq \mathbf{v}\cdot \mathbf{w} \leq 15. \end{align*}

2. Vektoreiden välinen kulma

Valitse mitkä tahansa kolme numeroa \(x,y,z\) siten, että \(x+y+z=0\). Mikä on vektorien \(\mathbf{v} = (x,y,z)\) ja \(\mathbf{w} = (z,x,y)\) välinen kulma? Näytä yleisesti, että näin valituilla \(\mathbf{v} , \mathbf{w}\) pätee

\[ \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} }{\|\mathbf{v} \| \|\mathbf{w} \|} = -\frac{1}{2}. \]

Ratkaisu

Yhtälö \(x+y+z=0\) määritteleee origon kautta kulkevan tason \(\mathbb{R}^3\):ssa. Vektorit \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) ja \(\mathbf{w} = \begin{pmatrix} z \\ x \\ y \end{pmatrix}\) määrittelevät tämän tason kaksi vektoria, vielä niin, että toisen saa toisesta sopivalla kierrolla.

  1. Aluksi valitaan kolme lukua \(x,y,z\), jotka toteuttavat yhtälön \(x+y+z=0\). Valitaan \(x = 1, y=1,z=-2\), ja lasketaan vektorien \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) välinen kulma \(\theta\). Kulman kosini saadaan lauseesta \(\cos \theta = \displaystyle \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}{\Vert \mathbf{v} \Vert\Vert \mathbf{w} \Vert}\): \( \displaystyle \cos \theta = \frac{-2+1-2}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = -\frac{1}{2}\) ja \(\displaystyle \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}\).
  2. Muutaman kokeilun jälkeen vaikuttaisi siltä että riippumatta valituista luvuista \(x,y,z\) vektorien \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) välinen kulma on aina sama. Voisiko tämän johtaa yleiseksi säännöksi?

    Aloitetaan kirjoittamlla lauseke \(\displaystyle \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}{\Vert \mathbf{v} \Vert\Vert \mathbf{w} \Vert}\) auki:

    \[ \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}{\Vert \mathbf{v} \Vert\Vert \mathbf{w} \Vert} = \frac{xz+yx+zy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}\sqrt{z^2+x^2+y^2}} = \frac{xz+yx+zy}{x^2+y^2+z^2} . \]

    Tämän jälkeen palataan tason yhtälöön \(x+y+z=0\) ja ratkaistaan \(z = -(x+y)\) ja sijoitetaan edelliseen:

    \[ \frac{x(-x-y)+yx+y(-x-y)}{x^2+y^2+(-x-y)^2} = \frac{-x^2-xy-y^2}{2x^2+2xy+2y^2} = -\frac{1}{2}. \]


3. Lineaarinen riippumattomuus

Millä lukuja \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) koskevillla ehdolla vektorit \(\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} \) ja \(\gamma \mathbf{v} + \delta \mathbf{w}\) ovat lineaarisesti riippumattomia, jos vektorit \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\)

  1. ovat lineaarisesti riippumattomia?
  2. eivät ole lineaarisesti riippumattomia?

Ratkaisu

Jos kaksi vektoria ovat lineaarisesti riippuvia, voidaan ne lausua toistensa avulla, eli \( \mathbf{v}=a\mathbf{w}\). Kun taas vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, niitä ei voida lausua toistensa avulla, eli \( \mathbf{v}\neq a\mathbf{w}\).

Vektorit \( \alpha \mathbf{v}+\beta \mathbf{w}\) ja \( \gamma \mathbf{v}+\delta \mathbf{w}\) voidaan kirjoittaa epäyhtälöksi \(\alpha \mathbf{v}+\beta \mathbf{w}\neq a( \gamma \mathbf{v}+\delta \mathbf{w})\), missä \( a\) on joku vakio.

  1. Kun \( \mathbf{v}\) ja \( \mathbf{w}\) ovat lineaarisesti riippumattomia, voidaan epäyhtälö hajoittaa kahdeksi epäyhtälöksi: \begin{align*} & \alpha \neq a\gamma \\ & \beta \neq a\delta. \end{align*} Nämä kaksi yhtälöä voidaan kirjoittaa muotoon: \[ \frac{\alpha}{\gamma} \neq \frac{\beta}{\delta} \Rightarrow \alpha \delta - \beta \gamma \neq 0. \] Ehto, jolla vektorit \( \alpha \mathbf{v}+\beta \mathbf{w}\) ja \( \gamma \mathbf{v}+\delta \mathbf{w}\) ovat lineaarisesti riippumattomia, on siis \( \alpha \delta - \beta \gamma \neq 0 \).
  2. Kun \( \mathbf{v}\) ja \( \mathbf{w}\) eivät ole lineaarisesti riippumattomia, voidaan kirjoittaa \( \mathbf{v}=b\mathbf{w}\), missä \( b\) on joku vakio.

    Nyt vektorit \( \alpha \mathbf{v}+\beta \mathbf{w}\) ja \( \gamma \mathbf{v}+\delta \mathbf{w}\) voidaan kirjoittaa muotoon:

    \begin{align*} & (\alpha b+\beta )\mathbf{w} \\ & (\gamma b+\delta)\mathbf{w}. \end{align*}

    Jotta nämä kaksi vektoria voisivat olla lineaarisesti riippumattomia, tulisi niiden osoittaa eri suuntiin. Vektorit voidaan kuitenkin lausua yhden vektorin \( \mathbf{w}\) avulla, eli vektorit \( \alpha \mathbf{v}+\beta \mathbf{w}\) ja \( \gamma \mathbf{v}+\delta \mathbf{w}\) ovat lineaarisesti riippuvia riippumatta, mitä lukuja \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \) ovat.

4. Matriisien tulo

Olkoot \(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}\) ja \(\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\). Laske \(\mathbf{AB}\) ja \(\mathbf{BA}\).

Ratkaisu

\[ \mathbf{AB}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}=30. \] \[ \mathbf{BA}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 12 \\ 4 & 8 & 12 & 16 \end{pmatrix}. \]

5. Permutaatiot

Etsi matriisi \(\mathbf{R} \in \mathbb{R}^{2\times 2}\), joka kiertää jokaista vektoria \(45^\circ\).

Vihje: Matriisi \(\mathbf{R}\) kuvaa vektorin \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) vektorille \(\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}\), ja vektorin \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) vektorille \(\begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}\). Näiden avulla saat muodostettua yhtälöt \(\mathbf{R}\):n alkioille.

Ratkaisu:

Olkoon \(\mathbf{R} = \begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} \\ r_{21} & r_{22} \end{pmatrix}\). Tällöin annetusta vihjeestä saadaan

\[ \mathbf{R} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} \\ r_{21} & r_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_{11} \\ r_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}, \] ja \[ \mathbf{R} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} \\ r_{21} & r_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_{12} \\ r_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}. \] Siispä saadaan \[ \mathbf{R} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}. \]

6. Gaussin eliminaatio

Etsi lineaarisen yhtälöryhmän

\[ \left\{ \begin{array}{ll} x_1+x_2+3x_3 & = 3,\\ -x_1+x_2+x_3 & = -1, \\ 2x_1+3x_2+8x_3 & = 4. \end{array} \right. \] kaikki ratkaisut tai osoita, että ratkaisuja ei ole.

Ratkaisu

Muutetaan yhtälöryhmä matriisimuotoon \( \mathbf{Ax=b}\):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \] Ratkaistaan yhtälö Gaussin eliminaatiolla: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 8 & 4 \end{pmatrix} \] Lisätään ensimmäinen rivi toiseen ja vähennetään ensimmäinen rivi viimeisestä kahdella kerrottuna: \[ \begin{pmatrix} \underline{1} & 1 & 3 & 3 \\ 0 & \underline{2} & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \] Jaetaan toinen rivi kahdella ja vähennetään se alimmasta rivistä: \[ \begin{pmatrix} \underline{1} & 1 & 3 & 3 \\ 0 & \underline{1} & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \] Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua, koska alin yhtälö on nyt epätosi: \[ 0x_1+0x_2+0x_3\neq -3 \Rightarrow 0\neq -3. \]

7. Matriisien laskulait

Osoita, että \( (\mathbf{A+B})^2\) on eri kuin \( \mathbf{A}^2+2\mathbf{AB}+\mathbf{B}^2\), kun

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \mathbf{B}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}. \]

Ratkaisu

\[ \mathbf{A}+\mathbf{B}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \] \[ (\mathbf{A}+\mathbf{B})^2=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10 & 4 \\ 6 & 6 \end{pmatrix}. \]
\[ \mathbf{A}^2= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \] \[ \mathbf{AB}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \] \[ \mathbf{B}^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \] \[ \mathbf{A}^2+2\mathbf{AB}+\mathbf{B}^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 16 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}. \] Eli \[ (\mathbf{A}+\mathbf{B})^2\neq \mathbf{A}^2+2\mathbf{AB}+\mathbf{B}^2. \]

8. Käänteismatriisit 1

Etsi matriisien \( \mathbf{A}\) ja \( \mathbf{B}\) käänteismatriisit:

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}. \]

Ratkaisu:

Lasketaan matriisin \( \mathbf{A} \) käänteismatriisi:

\[ \left( \begin{array}{c c | c c} 0 & 3 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \] Vaihdetaan rivien paikkaa: \[ \left( \begin{array}{c c | c c} 4 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \end{array} \right) \] Jaetaan ylin rivi 4:llä ja alin rivi :lla: \[ \left( \begin{array}{c c | c c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & 0 \end{array} \right) \] Käänteismatriisi on muotoa: \[ \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix}. \]

Lasketaan seuraavaksi matriisin \( \mathbf{B}\) käänteismatriisi:

\[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \] Vähenneteään ylin rivi muista riveistä: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \] Vähennetään keskimmäinen rivi ylimmästä ja alimmasta rivistä: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right) \] Vähennetään alin rivi keskimmäisestä rivistä: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right) \] Käänteismatriisi on muotoa: \[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}. \]

9. Käänteismatriisi 2

Etsi matriisin

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \] käänteismatriisi.

Ratkaisu:

Lasketaan käänteismatriisi: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \] Vaihdetaan ensimmäisen ja kolmannen rivin paikkaa: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \] Kerrotaan kolmas rivi 4:llä ja vähennetään se toisesta rivistä. \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \] Kerrotaan kolmas rivi 3:lla ja vähennetään se ensimmäisestä rivistä: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 2 & 0 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \] Jaetaan toinen rivi 2:lla: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 2 & 0 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \] Kerrotaan toinen rivi 2:lla ja vähennetään se ensimmäisestä rivistä: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \] Näin ollen matriisin \( \mathbf{A}\) käänteismatriisi on \[ \mathbf{A}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

10. LU-hajotelma 1

Ratkaise \( \mathbf{Ax=y}\) LU-hajotelmaa käyttäen, kun

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 3 & -7 & -2 \\ -3 & 5 & 1 \\ 6 & -4 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix} -7 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}. \]

Ratkaisu:

Ratkaistaan ensin yläkolmiomatriisi:

\[ \begin{pmatrix} 3 & -7 & -2 \\ -3 & 5 & 1 \\ 6 & -4 & 0 \end{pmatrix} \] Kerrotaan ylin rivi -1:llä ja vähennetään se keskimmäisestä rivistä: \[ \begin{pmatrix} 3 & -7 & -2 \\ 0 & -2 & -1 \\ 6 & -4 & 0 \end{pmatrix} \] Kerrotaan ylin rivi 2:lla ja vähennetään se alimmasta rivistä: \[ \begin{pmatrix} 3 & -7 & -2 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 10 & 4 \end{pmatrix} \] Kerrotaan keskimmäinen rivi -5:llä ja vähennetään se alimmasta rivistä: \[ \begin{pmatrix} 3 & -7 & -2 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] Saatu tulos on kysytty yläkolmiomatriisi, eli \[ \mathbf{U}= \begin{pmatrix} 3 & -7 & -2 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] Alakolmiomatriisi saadaan kirjoittamalla yllä olevien vaiheiden kertoimet identiteettimatriisin kohtiin, joita kyseinen kerroin eliminoi vähennyslaskulla nollaksi: \[ \mathbf{L}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix} \] LU-hajotelmaksi saadaan siis \[ \mathbf{LU}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -7 & -2 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] Ratkaistaan yhtälö \( \mathbf{Ax=b}\) LU-hajotelmaa käyttäen:

Merkitään, että \( \mathbf{y}=\mathbf{Ux}\), eli \( \mathbf{Ax}=\mathbf{LUx}=\mathbf{Ly}=\mathbf{b}\).

Ratkaistaan ensin \( \mathbf{y}\) siten, että

\[ \mathbf{Ly}=\mathbf{b} \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \] Ratkaistaan \( y_1,y_2,y_3\): \begin{align*} y_1 & = -7, \\ -y_1+y_2 & =5 \Rightarrow y_2=2, \\ 2y_1-5y_2+y_3 & = 2 \Rightarrow y_3=6. \end{align*} Ratkaisuksi saadaan \[ \mathbf{y}=\begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}. \] Sitten ratkaistaan yhtälö \( \mathbf{y}=\mathbf{Ux}\): \[ \begin{pmatrix} 3 & -7 & -2 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \] Ratkaistaan \( x_1,x_2,x_3\): \begin{align*} x_ 3 & = -6 \\ -2x_2-x_3 & = -2 \Rightarrow x_2=4 \\ x_1-7x_2-2x_3 & = -7 \Rightarrow x_1=3 \end{align*} Ratkaisuksi saadaan \[ \mathbf{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}. \] Voidaan tarkistaa laskemalla: \[ \mathbf{Ax}=\begin{pmatrix} 3 & -7 & -2 \\ -3 & 5 & 1 \\ 6 & -4 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}=\mathbf{b}. \]

11. LU-hajotelma 2

Etsi (jos mahdollista) matriisin

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 8 & 14 \\ 6 & 6 & 13 \end{pmatrix} \] LU-hajotelma.

Ratkaisu:

Ratkaistaan ensin yläkolmiomatriisi \( \mathbf{U}\). Vähennetään ylin rivi keskimmäisestä 3:lla kerottuna ja alimmasta 6:lla kerrottuna:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & -6 & -11 \end{pmatrix} \] Vähennetään keskimmäinen rivi alemmasta -3:lla kerrottuna: \[ \mathbf{U}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix} \] Alakolmiomatriisi \( \mathbf{L}\) saadaan kirjoittamalla yllä olevien vaiheiden kertoimet identiteettimatriisin kohtiin, joita kyseinen kerroin eliminoi vähennyslaskulla nollaksi: \[ \mathbf{L}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 6 & -3 & 1 \end{pmatrix}. \] Siten \[ \mathbf{A}=\mathbf{LU}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 6 & -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}. \]

12. Determinantti

Laske matriisien \( \mathbf{A}\) ja \( \mathbf{B}\) determinantit:

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B}=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}. \]

Ratkaisu:

\[ \operatorname{det}(\mathbf{A})=\operatorname{det}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}=2\cdot 5-3\cdot 4=-2. \] \begin{align*} \operatorname{det}(\mathbf{B}) & = \operatorname{det} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}=2\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \\ & = 2(0\cdot 2-1\cdot 1)-3(3\cdot 2-1\cdot 3)+1(3\cdot 1-0\cdot 3) \\ & = -2-9+3=-8. \end{align*}

13. Vektoritulo

  1. Etsi vektori, joka on kohtisuorassa vektoria \( (1,2,3)\) vastaan. Vihje: Voit käyttää ristituloa jonkin lineaarisesti riippumattoman vektorin kanssa.
  2. Oletetaan, että \( \mathbf{x}\times \mathbf{i}=\mathbf{y}\times \mathbf{i}.\) Päteekö tällöin aina, että \( \mathbf{x}=\mathbf{y}\)? Anna todistus tai vastaesimerkki.

Ratkaisu:

  1. Kahden lineaarisesti riippumattoman vektorin ristitulosta saatu vektori on kohtisuorassa alkuperäisiä vektoreita kohtaan.

    Valitaan vektori, joka ei ole lineaarisesti riippuva vektorin \( (1,2,3)\) kanssa. Esijm. vektori \( (1,1,1)\). Lasketaan näiden vektorien ristitulo:

    \[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(2-3)\mathbf{i}-(1-3)\mathbf{j}+(1-2)\mathbf{k}=-\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k}. \] Pistetulolla voidaan tarkistaa, että tulos on oikein: \[ (\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k})\cdot (-\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k})=-1+4-3=0 \]
  2. Oletetaan, että \( \mathbf{x}\times \mathbf{i}=\mathbf{y}\times \mathbf{i}.\)

    Kirjoitetaan \( \mathbf{x}=x_1\mathbf{i}+x_2\mathbf{j}+x_3\mathbf{k}\) sekä \( \mathbf{y}=y_1\mathbf{i}+y_2\mathbf{j}+y_3\mathbf{k}\). Nyt ristituloksi saadaan:

    \begin{align*} \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} & = 0\mathbf{i}+x_3\mathbf{j}-x_2\mathbf{k} \\ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} & = 0\mathbf{i}+y_3\mathbf{j}-y_2\mathbf{k} \end{align*} Ristitulojen tulee olla yhtä suuret, eli \( x_3=y_3\) ja \( x_2=y_2\). Kuitenkin \( x_1\) ja \( y_1\) voivat olla erisuuret, sillä ne eivät vaikuta ristituloon. Tästä voidaan nähdä, ettei aina siis päde, että \( \mathbf{x}=\mathbf{y}\), kun \( \mathbf{x}\times \mathbf{i}=\mathbf{y}\times \mathbf{i}.\)

14. Ominaisarvot ja -vektorit \( 2\times 2\)-matriisi

Etsi matriisin

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \] ominaisarvot ja -vektorit.

Ratkaisu:

Ominaisarvot saadaan ratkaisemalla yhtälö \( \operatorname{det} (\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0:\)

\[ \operatorname{det}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=\begin{vmatrix} 0-\lambda & 1 \\ -2 & -3-\lambda \end{vmatrix}=-\lambda(-3-\lambda)+2=\lambda^2+3\lambda +2=0 \] \[ \lambda_1=-1 \quad \text{ja} \quad \lambda_2=-2. \] Ratkaistaan ominaisvektorit yhtälöstä \( \mathbf{Av}=\lambda \mathbf{v}\), eli \( (\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{v}=0:\)

\( \lambda_1=-1: \)

\[ (\mathbf{A}-\lambda_1 \mathbf{I})\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=0 \] \[ \left\{ \begin{aligned} x_1+x_2=0\\ -2x_1-2x_2=0 \end{aligned} \right. \] \[ x_1=x_2 \] \[ \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}. \]

\( \lambda_2=-2: \)

\[ (\mathbf{A}-\lambda_2 \mathbf{I})\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=0 \] \[ \left\{ \begin{aligned} -2x_1+x_2=0\\ -2x_1-x_2=0 \end{aligned} \right. \] \[ x_2=-2x_1 \] \[ \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}. \] Ominaisarvot ovat siis \( \lambda_1=-1\) ja \( \lambda_2=-2\) ja niitä vastaavat ominaisvektorit \( \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) ja \( \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\).

16. Ominaisarvot ja -vektorit \( 3\times 3\)-matriisi

Etsi matriisin

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 4 & -4 & 2 \\ 2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] ominaisarvot ja ominaisvektorit.

Ratkaisu:

Lasketaan ominaisarvot yhtälöstä

\[ \operatorname{det}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0: \] \[ \begin{vmatrix} 4-\lambda & -4 & 2 \\ 2 & -2-\lambda & 2 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix}=(4-\lambda )(-2-\lambda )(1-\lambda )-2(-4)(1-\lambda )=0 \] Saadaan karakteristinen yhtälö: \[ \lambda (1-\lambda )(-2+\lambda )=0, \] josta saadaan ominaisarvot: \[ \lambda_1=0, \quad \lambda_2=1, \quad \lambda_3=2. \] Lasketaan ominaisvektorit yhtälöstä \[ (\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{v}=0: \] \( \lambda_1=0: \) \[ \begin{pmatrix} 4 & -4 & 2 \\ 2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0 \] Jaetaan ylin rivi kahdella ja vähennetään se keskimmäisestä rivistä: \[ \begin{pmatrix} 4 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0. \] Saadaan yhtälöryhmä \[ \left\{ \begin{aligned} 4x_1-4x_2+2x_3=0\\ x_3=0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} x_1=x_2 \\ x_3=0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}. \] \( \lambda_2=1: \) \[ \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0 \] Saadaan yhtälöryhmä: \[ \left\{ \begin{aligned} 3x_1-4x_2+2x_3=0 \\ 2x_1-3x_2+2x_3=0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} x_1=x_2 \\ x_1=2x_3 \end{aligned} \right. \Rightarrow \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}. \] \( \lambda_3=2:\) \[ \begin{pmatrix} 2 & -4 & 2 \\ 2 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0 \] Saadaan yhtälöryhmä: \[ \left\{ \begin{aligned} 2x_1-4x_2+2x_3=0 \\ -x_3=0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} x_1=2x_2 \\ x_3=0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \mathbf{v}_3=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}. \]

17. Gram-Schmidt - algoritmi:

Olkoon

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \\ 2 & -4 & 2 \\ 4 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \] Etsi matriisin \( \mathbf{A}\) sarakevektoreiden virittämälle avaruudelle ortonormaali kanta.

Ratkaisu:

Gram-Schmidt -prosessi:

\begin{align*} \mathbf{v}_1 & = \mathbf{a}_1, \quad \mathbf{q}_1=\frac{\mathbf{v}_1}{||\mathbf{v}_1||} \\ \mathbf{v}_2 & = \mathbf{a}_2- \langle \mathbf{q}_1, \mathbf{a}_2 \rangle \mathbf{q}_1, \quad \mathbf{q}_2=\frac{\mathbf{v}_2}{||\mathbf{v}_2||} \\ \mathbf{v}_3 & = \mathbf{a}_3- \langle \mathbf{q}_1, \mathbf{a}_3 \rangle \mathbf{q}_1- \langle \mathbf{q}_2, \mathbf{a}_3 \rangle \mathbf{q}_2, \quad \mathbf{q}_3=\frac{\mathbf{v}_3}{||\mathbf{v}_3||} \end{align*} Lasketaan \( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3\): \[ \mathbf{v}_1=\mathbf{a}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}, \] \[ \mathbf{q}_1=\frac{\mathbf{v}_1}{||\mathbf{v}_1||}=\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+2^2+4^2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}, \] \[ \mathbf{v}_2 = \mathbf{a}_2- \langle \mathbf{q}_1, \mathbf{a}_2 \rangle \mathbf{q}_1=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}-\frac{1}{5}(-2+0-8+0)\cdot \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{2}{5}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8/5 \\ 4/5 \\ -16/5 \\ 8/5 \end{pmatrix}, \] \[ \mathbf{q}_2=\frac{\mathbf{v}_2}{||\mathbf{v}_2||}=\frac{1}{\sqrt{\frac{400}{25}}}\begin{pmatrix} -8/5 \\ 4/5 \\ -16/5 \\ 8/5 \end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}, \] \[ \mathbf{v}_3 = \mathbf{a}_3- \langle \mathbf{q}_1, \mathbf{a}_3 \rangle \mathbf{q}_1-\langle \mathbf{q}_2, \mathbf{a}_3 \rangle \mathbf{q}_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}-\frac{1}{5}(1+8+4)\cdot \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}-\frac{1}{5}(-2+4-8)\cdot \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \] \[ =\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}-\frac{13}{25}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}-\frac{6}{25}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 4/5 \\ 2 \\ 8/5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 16/5 \\ 0 \\ -8/5 \end{pmatrix}, \] \[ \mathbf{q}_3=\frac{\mathbf{v}_3}{||\mathbf{v}_3||}=\frac{1}{\sqrt{\frac{320}{25}}}\begin{pmatrix} 0 \\ 16/5 \\ 0 \\ -8/5 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \] Täten matriisin \( \mathbf{A} \) sarakevektoreiden virittämälle avaruudelle ortonormaali kanta \[ \mathbf{Q}=\begin{pmatrix} 1/5 & -2/5 & 0 \\ 2/5 & 1/5 & 2/\sqrt{5} \\ 2/5 & -4/5 & 0 \\ 4/5 & 2/5 & -1/\sqrt{5} \end{pmatrix}. \]

18. Diagonalisointi

Diagonalisoi matriisi

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & -1 \\ 2 & -4 & 3 \end{pmatrix}. \]

Ratkaisu

Diagonalisointi on muotoa \( \mathbf{A}=\mathbf{V}\Lambda\mathbf{V}^{-1} \), missä diagonaalimatriisissa \( \Lambda\) on ominaisvektorit diagonaalilla ja matriisissa \( \mathbf{V}\) on ominaisvektorit vastaavissa sarakkeissa kuin ominaisarvot diagonaalilla matriisissa \( \Lambda \).

Lasketaan ominaisarvot:

\[ \operatorname{det}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0 \] \[ \begin{vmatrix} 2-\lambda & -2 & 1 \\ -1 & 3-\lambda & -1 \\ 2 & -4 & 3-\lambda \end{vmatrix}=0. \] Laskemalla determinantti ja ratkaisemalla karakteristinen yhtälö, saadaan ominaisarvot: \[ \lambda_1=6, \lambda_2=1, \lambda_3=1. \] \[ \Lambda=\begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \] Lasketaan ominaisvektorit: \[ (\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{v}=0 \] \( \lambda_1=6:\) \[ \begin{pmatrix} -4 & -2 & 1 \\ -1 & -3 & -1 \\ 2 & -4 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0 \] Vaihdetaan ylimmän ja keskimmäisen rivin paikkaa: \[ \begin{pmatrix} -1 & -3 & -1 \\ -4 & -2 & 1 \\ 2 & -4 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0 \] Kerrotaan ylin rivi 4:llä ja vähennetään se keskimmäisestä rivistä. Kerrotaan ylin rivi -2:lla ja vähennetään se alimmasta rivistä: \[ \begin{pmatrix} -1 & -3 & -1 \\ 0 & 10 & 5 \\ 0 & -10 & -5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0 \] Saadaan yhtälöryhmä: \[ \left\{ \begin{aligned} -x_1-3x_2-x_3=0 \\ 10x_2+5x_3=0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} x_1=-x_2\\ x_3=-2x_2 \end{aligned} \right. \Rightarrow \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}. \] \( \lambda_2=\lambda_3=1:\) \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0. \] Lisätään ylin rivi keskimmäiseen ja kerrotaan ylin rivi 2:lla ja vähnnetään se alimmasta rivistä: \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0. \] Saadaan yhtälö: \[ x_1-2x_2+x_3=0, \] josta saadaan kaksi lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria. Esim. \[ \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{ja} \quad \mathbf{v}_3=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \] \[ \mathbf{V}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \] Lasketaan käänteismatriisi Gaussin elimaatiolla: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \] Lisätään ylin rivi keskimmäiseen riviin: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \] Kerrotaan ylin rivi 2:lla ja vähennetään se alimmasta rivistä: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & -4 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right) \] Kerrotaan toinen rivi -3:lla ja vähennetään se alimmasta rivistä: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 3 & 1 \end{array} \right) \] Kerrotaan alin rivi \( \frac{3}{5}\):lla ja vähennetään se toisesta rivistä. Vähennetään toinen rivi ensimmäisestä rivistä: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 0 & 2 & 3/5 & 4/5 & 3/5 \\ 0 & -1 & 0 & 2/5 & -4/5 & -3/5 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 3 & 1 \end{array} \right) \] Kerrotaan alin rivi \(\frac{2}{5}\):lla ja vähennetään se ylimmästä rivistä: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 0 & 0 & 1/5 & -2/5 & 1/5 \\ 0 & -1 & 0 & 2/5 & -4/5 & -3/5 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 3 & 1 \end{array} \right) \] Kerrotaan toinen rivi -1:llä ja jaetaan kolmas rivi 5:llä: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 0 & 0 & 1/5 & -2/5 & 1/5 \\ 0 & 1 & 0 & -2/5 & 4/5 & 3/5 \\ 0 & 0 & 1 & 1/5 & 3/5 & 1/5 \end{array} \right) \] Diagonalisointi on siis muotoa \[ \mathbf{A}=\mathbf{V}\Lambda\mathbf{V}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1/5 & -2/5 & 1/5 \\ -2/5 & 4/5 & 3/5 \\ 1/5 & 3/5 & 1/5 \end{pmatrix}. \]

19. Diagonalisointi ja matriisin potenssit 1

Olkoon

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -6 & -4 \end{pmatrix}. \] Etsi yleinen kaava potensseille \( \mathbf{A}^n\), kun \( n=1,2,3,\ldots\).

Vihje: Diagonalisoi ensin matriisi.

Ratkaisu:

Lasketaan ominaisarvot:

\[ \operatorname{det}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0 \] \[ \begin{vmatrix} 6-\lambda & 4 \\ -6 & -4-\lambda \end{vmatrix} \] Laskemalla determinantti ja ratkaisemalla karakteristinen yhtälö saadaan ominaisarvot: \[ \lambda_1=2, \lambda_2=0. \] \[ \Lambda=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \] Lasketaan ominaisvektorit: \[ (\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{v}=0: \] \( \lambda_1=2:\) \[ \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ -6 & -6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=0 \] Saadaan yhtälö \[ x_1+x_2=0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \] \(\lambda_2=2: \) \[ \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -6 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=0 \] Saadaan yhtälö \[ 6x_1+4x_2=0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}. \] \[ \mathbf{V}=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \] Lasketaan käänteismatriisi: \[ \mathbf{V}^{-1}=\frac{1}{1\cdot 3-(-1)\cdot (-2)}\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. \] Diagonalisointi on muotoa: \[ \mathbf{A}=\mathbf{V}\Lambda\mathbf{V}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. \] Ratkaistaan yleinen muoto potenssille \( \mathbf{A}^n:\) \[ \mathbf{A}^n=\mathbf{V}\Lambda^n \mathbf{V}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=2^n\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}. \]

20. Ortogonaalisuus

Olkoon matriisi

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & x \\ -1/\sqrt{2} & y \end{pmatrix}. \] Määritä vakiot \( x\) ja \( y\) siten, että \(\mathbf{A}\) on ortogonaalinen.

Ratkaisu:

Matriisi on ortogonaalinen, kun sen käänteismatriisi on sen transpoosi, eli kun

\[ \mathbf{A}^T=\mathbf{A}^{-1}. \] Lasketaan matriisin \( \mathbf{A} \) käänteismatriisi: \[ \mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf{A})}\begin{pmatrix} y & -x \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{y+x}\begin{pmatrix} y & -x \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}. \] Lasketaan matriisin \( \mathbf{A}\) transpoosi: \[ \mathbf{A}^T=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ x & y \end{pmatrix}. \] Merkitsemällä transpoosi ja käänteismatriisi yhtäsuuriksi saadaan: \[ x=y=1/\sqrt{2}. \]

21. Yläkolmiomatriisi

Osoita, että jos \( \mathbf{T}\) on yläkolmiomatriisi ja lisäksi ortogonaalinen, niin \( \mathbf{T}\) on diagonaalimatriisi.

Ratkaisu

Yläkolmiomatriisi \( \mathbf{T}\) on muotoa

\[ \mathbf{T}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \] Jos matriisi \( \mathbf{T}\) on ortogonaalinen, on jokainen sarake pituudeltaan 1 ja lisäksi kohtisuorassa kaikkia muita sarakkeita vastaan.

Jotta ensimmäisen sarakkeen pituudeksi tulee 1, täytyy alkion \(a_{11}\) olla \(\pm 1\), sillä kaikki muut alkiot tässä sarakkeessa ovat nollia. Matriisi \( \mathbf{T} \) saadaan siis muotoon:

\[ \mathbf{T}=\begin{pmatrix} \pm 1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \]

Tarkasteltaessa seuraavaa saraketta tulee alkion \(a_{12}\) olla nolla ja alkio \(a_{22}\) olla \( \pm 1\), jotta tämä sarake on kohtisuorassa ensimmäisen sarakkeen kanssa ja pituudeltaan 1. Vastaavasti seuraavan sarakkeen tulee olla nolla kaikilla riveillä, joilla on jo arvo \( \pm 1\) jossain kohdassa, jotta se on kohtisuorassa näitä sarakkeita vastaan. Lisäksi pituuden tulee aina olla 1, joten tämä arvo tulee aina diagonaalille. Päädytään siis siihe, että matriisi \( \mathbf{T}\) on diagonaalimatriisi:

\[ \mathbf{T}=\begin{pmatrix} \pm 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \pm 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \pm 1 \end{pmatrix}. \]

22. Diagonalisointi ja matriisin potenssit 2

Diagonalisoi matriisi

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}, \] ja laske \( \mathbf{A}^{2015} \). (Huom: Kyseisen matriisin diagonalisointi oli luennolla esimerkkinä, mutta välivaiheet sivuutettiin ja tehtävänä on laskea välivaiheet).

Ratkaisu:

Ominaisarvot:

Last modified: Wednesday, 9 December 2015, 3:57 PM