Transpoosi


Transpoosi vaihtaa matriisin rivit ja sarakkeet keskenään, eli

\[ (\mathbf{A}^T)_{ij}=\mathbf{A}_{ji}. \]

Esimerkki

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}; \quad \mathbf{A}^T= \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}. \]

Transpoosin laskulait

\[ \begin{array}{lrl} 1.& \quad \mathbf{(A+B)}^T&=\mathbf{A}^T+\mathbf{B}^T \\ \\ 2.& \quad \mathbf{(AB)}^T&=\mathbf{B}^T\mathbf{A}^T \\ \\ 3.& \quad (\mathbf{A}^{-1})^T&=(\mathbf{A}^T)^{-1} \quad \text{(neliömatriiseille).} \end{array} \]

Huomaa! \( \mathbf{A}\):n transpoosi on säännöllinen, jos ja vain jos \( \mathbf{A}\) on säännöllinen.


Sisätulo ja symmetria

Sisätulo voidaan transpoosin avulla tulkita seuraavana matriisikertolaskuna: \( \mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=\mathbf{v}^T\mathbf{w}\) (ks. esimerkki osion 2 kappaleesta Eliminaatio matriiseilla).

Tässä notaatiossa siis \(\mathbf{w}\) on pystyvektori ja \(\mathbf{v}\) vaakavektori. Tuloksena matriisikertolaskusta on skalaari.

Symmetrinen matriisi on diagonaalinsa suhteen symmetrinen ja sille pätee siis: \( \mathbf{A}^T=\mathbf{A}\), eli \( \alpha_{ij}=\alpha_{ji}\).


Konjugoitu transpoosi*

Kompleksisille matriiseille \(\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{m\times n}\) transpoosia luonnollisempi on konjugoitu transpoosi

\[ \mathbf{A}^* \in \mathbb{C}^{n\times m}, \qquad a^*_{ij} = \bar a_{ji}. \]
Toisin sanoen
\[ \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}^{*} = \begin{pmatrix} \bar a_{11} & \cdots & \bar a_{m1} \\ \vdots & & \vdots \\ \bar a_{1n} & \cdots & \bar a_{mn} \end{pmatrix}. \]

Erityisesti vektorien \(\mathbf{u,v}\in \mathbb{C}^n\) kompleksinen sisätulo on

\[ \langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle= \bar u_1 v_1 + \ldots + \bar u_n v_n = (\bar u_1 \ \cdots \ \bar u_n) \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \mathbf{u}^* \mathbf{v}. \]

Hermiittinen matriisi*

Neliömatriisi \(\mathbf{A}\in \mathbb{C}^{n\times n}\) on hermiittinen, jos \(\mathbf{A}^*=\mathbf{A}\).

Reaalinen matriisi \(\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{n\times n}\) on symmetrinen, jos \(\mathbf{A}^T=\mathbf{A}\).

Yleisesti matriisille \(\mathbf{A}\in\mathbb{C}^{n\times n}\) pätee

\[ \langle \mathbf{u},\mathbf{Av} \rangle = \mathbf{u}^*\mathbf{Av} = (\mathbf{A}^*\mathbf{u})^*\mathbf{v} = \langle \mathbf{A}^*\mathbf{u},\mathbf{v} \rangle. \]

Lisäksi sisätulolle pätee

\[ \langle \mathbf{u,v} \rangle = \sum_{j=1}^n u_j\bar v_j = \overline{\sum_{j=1}^n\bar v_j u_j} = \overline{\langle \mathbf{v,u} \rangle}. \]

Hermiittiselle matriisille \(\mathbf{A}\in \mathbb{C}^{n\times n}\), \(\mathbf{A}^*=\mathbf{A}\) saadaan siis

\[ \langle \mathbf{u,Au} \rangle = \langle \mathbf{Au,u} \rangle = \overline{\langle \mathbf{u,Au} \rangle}. \]

Toisin sanoen, pätee \( \langle \mathbf{u,Au} \rangle \in \mathbb{R} \).

Ortogonaalisuus

Matriiseja, joiden käänteismatriisit ovat niiden omia transpooseja, sanotaan ortogonaalisiksi.

Toisin sanoen ortogonaaliselle matriisille \(\mathbf{A}\) pätee:

\[ \mathbf{A}\mathbf{A}^T = \mathbf{I} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf{A}^T = \mathbf{A}^{-1} \]

Esimerkiksi permutaatiomatriisit ovat ortogonaalisia eli käänteispermutaatio saadaan transponoimalla. Ortogonaalisuus voidaan myös tulkita geometrisesti matriisin sarakkeiden tai rivien kohtisuoruutena toisiinsa nähden. Lisäksi ne ovat yksikkövektoreita.


Esimerkki

Olkoon matriisi

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & x \\ -1/\sqrt{2} & y \end{pmatrix}. \] Määritä vakiot \( x\) ja \( y\) siten, että \(\mathbf{A}\) on ortogonaalinen.

Ratkaisu:

Matriisi on ortogonaalinen, kun sen käänteismatriisi on sen transpoosi, eli kun

\[ \mathbf{A}^T=\mathbf{A}^{-1}. \] Lasketaan matriisin \( \mathbf{A} \) käänteismatriisi: \[ \mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf{A})}\begin{pmatrix} y & -x \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{y+x}\begin{pmatrix} y & -x \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}. \] Lasketaan matriisin \( \mathbf{A}\) transpoosi: \[ \mathbf{A}^T=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ x & y \end{pmatrix}. \] Merkitsemällä transpoosi ja käänteismatriisi yhtäsuuriksi saadaan: \[ x=y=1/\sqrt{2}. \]
Last modified: Wednesday, 27 September 2017, 3:16 PM