Determinantti

Determinantti on matriisialkioiden reaaliarvoinen funktio, joka on määritelty vain neliömatriiseille. Se voidaan nähdä skaalaustekijänä matriisikuvauksissa sekä suunnikkaiden/suuntaissärmiöiden pinta-alana/tilavuutena tietyissä sovelluksissa. Lisäksi sitä käytetään muunmuassa matriisien ominaisarvotehtävissä.

Determinanttia matriisille \(\underset{n\times n}{\mathbf{A}}\) voidaan merkitä seuraavilla tavoilla

\[ \operatorname{det} (\mathbf{A}) = |\mathbf{A}| = \operatorname{det} \mathbf{A}. \]

Determinantin ominaisuuksia

  1. \( \operatorname{det} \mathbf{I}=1. \)
  2. Rivinvaihto vaihtaa determinantin merkin.

    \[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc=-\begin{vmatrix} c & d \\ a & b \end{vmatrix}. \]
  3. Determinantti on lineaarinen rivin suhteen:

    \[ \begin{vmatrix} ta & tb \\ c & d \end{vmatrix}=t\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}, \] \[ \begin{vmatrix} a+a' & b+b' \\ c & d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a' & b' \\ c & d \end{vmatrix}. \]

    Ominaisuudet 1-3 riittävät formaaliin määritelmään.

  4. Jos kaksi riveistä on yhtäsuuria, on \( \operatorname{det} \mathbf{A}=0. \)
  5. Rivioperaatio ei muuta determinantin arvoa.
  6. Rivi nollia nollaa determinantin.
  7. Kolmiomatriisin determinantti on lävistäjien tulo.
  8. Singulaarisen matriisin determinantti on nolla.
  9. \( |\mathbf{AB}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|\).
  10. \( \operatorname{det} \mathbf{A}^T=\operatorname{det} \mathbf{A}\).

Todistetaan ominaisuus 9:

Väite: \( |\mathbf{AB}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|. \)

Todistus:

i) Oletetaan, että \( |\mathbf{B}|\neq 0.\) Tutkitaan lukua \( D(\mathbf{A})=\frac{|\mathbf{AB}|}{|\mathbf{B}|}\). Jos \( D(\mathbf{A})\):lla on determinantin ominaisuudet 1, 2 ja 3, on \( D(\mathbf{A})=\operatorname{det} \mathbf{A}\).

  1. \[ \mathbf{A}=\mathbf{I} \Rightarrow D(\mathbf{A})=\frac{|\mathbf{B}|}{|\mathbf{B}|}=1. \]
  2. Jos \( \mathbf{A}\):n kaksi riviä vaihdetaan keskenään, samat rivit vaihtuvat tulossa \( \mathbf{AB}\). \( D(\mathbf{A})\) vaihtaa merkkiä aina, kun \(|\mathbf{A} |\) vaihtaa.
  3. \( \mathbf{A}\):n ensimmäisen rivin skaalaus skaalaa \( \mathbf{AB}\):n ensimmäisen rivin samalla luvulla. Jos \(\mathbf{A} \):n ensimmäinen rivi on kahden rivin summa, niin tulo \( \mathbf{AB}\) voidaan kirjoittaa siten, että sen ensimmäinen rivi on kahden rivin summa (sisätulovariantti).

    \( |\mathbf{AB}|\) hajoaa kahteen osaan, jotka jaetaan \( |\mathbf{B}|\):llä.

    Ts.

    \[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots && \\ a_{n1} &&& a_{nn} \end{pmatrix}; \quad \mathbf{B}=(b_{ij}). \]

    Jos \(a_{1j}=\tilde{a}_{1j}+\hat{a}_{1j} \), niin \( a_{1j}b_{j1}=\tilde{a}_{1j}b_{j1}+\hat{a}_{1j}b_{j1}. \) Käytetään ominaisuutta 3) ja osaväite seuraa.

Kaikki ehdot täyttyvät, joten \( D(\mathbf{A})=|\mathbf{A}|.\)

ii) \(|\mathbf{B}|=0; \quad \mathbf{AB} \) on singulaarinen, jos \( \mathbf{B}\) on. Tällöin siis \( |\mathbf{AB}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|=0. \)

Sarrus'n sääntö

3×3 matriiseille on olemassa muistisääntö, jossa matriisia jatketaan duplikoimalla ensimmäinen ja toinen sarake sen perään, jolloin saadaan \(3 \times 5\)-matriisi, josta voidaan lukea determinantin lausekkeen tekijät kuvan 1 osoittamilta diagonaaneilta:

Sarrus'n sääntö
Kuva 1. Sarrus'n sääntö visualisoituna (lähde Wikipedia).

Eli determinantti voidaan siis laskea kaavasta:

\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} \\ & - a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}. \end{eqnarray*}

Vastaavasti 2×2 matriiseille on olemassa kaava:

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \]

Esimerkki

Laske matriisien \( \mathbf{A}\) ja \( \mathbf{B}\) determinantit:

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B}=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}. \]

Ratkaisu:

\[ \operatorname{det}(\mathbf{A})=\operatorname{det}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}=2\cdot 5-3\cdot 4=-2. \] \begin{align*} \operatorname{det}(\mathbf{B}) & = \operatorname{det} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}=2\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \\ & = 2(0\cdot 2-1\cdot 1)-3(3\cdot 2-1\cdot 3)+1(3\cdot 1-0\cdot 3) \\ & = -2-9+3=-8. \end{align*}

Yleinen kaava*

Määritelmä 1:

\[ \operatorname{det} \mathbf{A}=\sum \operatorname{det} (\mathbf{P}) \alpha_{1\alpha}\alpha_{2\beta}\cdots \alpha_{n\omega}, \]
missä \( \mathbf{P}\in n\times n\) permutaatiomatriisi, \(\mathbf{P}=(\alpha, \beta, \ldots, \omega) \).

Toisaalta:

\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} a_{11} & & \\ & a_{22} & a_{23} \\ & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} & a_{12} & \\ a_{21} & & a_{23} \\ a_{31} & & a_{33} \end{vmatrix} \\ & +\begin{vmatrix} & & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & \\ a_{31} & a_{32} & \end{vmatrix} \end{eqnarray*}

Määritelmä 2:

\[ \operatorname{det} \mathbf{A}=\alpha_{i1}\mathbf{C}_{i1}+\alpha_{i2} \mathbf{C}_{i2}+\cdots +\alpha_{in}\mathbf{C}_{in}, \]
missä liittotekijä \( \mathbf{C_{ij}}=(-1)^{i+j}\mathbf{M}_{ij} \);

\( \mathbf{M}_{ij}\) on \( (n-1)\times (n-1)\)-matriisi, joka muodostetaan poistamalla \( \mathbf{A}\):n \( i\):s rivi ja \( j\):s sarake.

Last modified: Tuesday, 3 October 2017, 11:35 AM