Ominaisarvot ja -vektorit

Määritelmä: Skalaari \(\lambda \in \mathbb{C}\) on matriisin \(\mathbf{A}\in \mathbb{C}^{n\times n}\) ominaisarvo ja vektori \(\mathbf{v}\in \mathbb{C}^n\) sitä vastaava ominaisvektori , jos

\[ \mathbf{Av} = \lambda\mathbf{v},\qquad \mathbf{v}\neq 0. \]

Intuitiivisesti ominaisvektori on vektori, jonka suunta ei muutu kuvauksessa \( \mathbf{v} \mapsto \mathbf{Av}\).

Myös vektorin \(\mathbf{v}\) skalaarikerrannaiset \(\alpha \mathbf{v}\in \mathbb{C}^n\), \(\alpha \in \mathbb{C}\setminus\{0\}\) ovat ominaisarvoon \(\lambda \) liittyviä ominaisvektoreita, koska

\[ \mathbf{A}(\alpha \mathbf{v}) = \alpha \mathbf{Av} = \alpha \lambda \mathbf{v} = \lambda(\alpha \mathbf{v}). \]

Kompleksiluku \(\alpha\in \mathbb{C}\) on matriisin \(\mathbf{A}\in \mathbb{C}^{n\times n}\) ominaisarvo, jos ja vain jos yhtälöllä \((\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{v} =0\) on ei-triviaali ratkaisu \(\mathbf{v}\in \mathbb{C}^n\setminus\{0\}\).

Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että \(\lambda\in \mathbb{C}\) on matriisin \(\mathbf{A}\) karakteristisen polynomin

\begin{equation} P_{\mathbf{A}}(\lambda):=\det (\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) \end{equation}
nollakohta.

Algebran peruslauseen mukaan

\begin{equation} P_{\mathbf{A}} = (-1)^n(\lambda-\lambda_1)^{m_1}(\lambda-\lambda_2)^{m_2}\cdots(\lambda-\lambda_k)^{m_k}, \end{equation}
missä \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\) ovat matriisin ominaisarvot.

Lukuihin \(m_j := m_{\lambda_j}\) liittyen saadaan seuraava määritelmä.

Määritelmä: Yllä olevassa yhtälössä esiintyvät luvut \(m_1,\ldots,m_k\) ovat ominaisarvojen \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\in \mathbb{C}\) algebralliset kertaluvut , ja

\[ E_j := E_{\lambda_j} (\mathbf{A}) := \{\mathbf{v}\in \mathbb{C}^n : \mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda_j\mathbf{v}\} \]
on ominaisarvoon \(\lambda_j\) liittyvä ominaisavaruus . Luku
\[ g_j:= g_{\lambda_j} := \dim\big(E_j(\mathbf{A})\big) \]
on ominaisarvon \(\lambda_j\) geometrinen kertaluku.

Lisäksi määritellään:

Määritelmä : Matriisin \(\mathbf{A}\in \mathbb{C}^{n\times n}\) spektri on sen ominaisarvojen joukko

\[ \sigma(\mathbf{A}):= \big\{\lambda\in \mathbb{C} : \mathbf{A} \mathbf{v}=\lambda \mathbf{v} \textrm{ jollakin }\mathbf{v}\in \mathbb{C}^n\setminus\{0\}\big\} \]

Saadaan seuraava tulos:

Lause: Matriisin \(\mathbf{A}\in \mathbb{C}^{n\times n}\) eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.

Todistus:

Olkoot \(\mathbf{A} \mathbf{v}_j = \lambda_j\mathbf{v}_j\), \(j=1,\ldots,k\), \(k\leq n\), missä \(\lambda_j \neq \lambda_p\), kun \(j\neq p\).

Tehdään vastaoletus: \(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\) ovat lineaarisesti riippuvia.

Tällöin yksi vektoreista voidaan esittää toisten lineaarikombinaationa. Olkoon \(l\) pienin indeksi, jolle \(\mathbf{v}_{l+1}\) voidaan esitää muodossa

\begin{equation} c_1\mathbf{v}_1+\ldots+c_l\mathbf{v}_l = \mathbf{v}_{l+1}\textrm{ joillekin }c_1,\ldots,c_l\in \mathbb{C}. \qquad \star \end{equation}
Nyt saadaan
\[ \mathbf{A}\mathbf{v}_{l+1} = \mathbf{A}(c_1\mathbf{v}_1+\ldots+ c_l\mathbf{v}_l) = c_1\mathbf{A}\mathbf{v}_1+\ldots+ c_l\mathbf{A}\mathbf{v}_l. \]
Vektorit \(\mathbf{v}_j\) ovat \(\mathbf{A}\):n ominaisvektoreita, ja siten
\[ c_1\lambda_1\mathbf{v}_1+\ldots+ c_l\lambda_l\mathbf{v}_l = \lambda_{l+1}\mathbf{v}_{l+1}. \]
Vähennetään tästä yhtälö \( \star \) kerrottuna luvulla \(\lambda_{l+1}\). Saadaan
\[ c_1(\lambda_1-\lambda_{l+1})\mathbf{v}_1+\ldots+c_l(\lambda_l-\lambda_{l+1})\mathbf{v}_l = 0. \]
Indeksin \(l\) valinnan perusteella vektorit \(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_l\) ovat lineaarisesti riippumattomia. Siten
\[ c_1(\lambda_1-\lambda_{l+1}) = \ldots = c_l(\lambda_l-\lambda_{l+1})=0. \]
Koska \(\lambda_j \neq \lambda_p\), kun \(p\neq j\), saadaan edelleen
\[ c_1 = \ldots = c_l = 0, \textrm{ eli } \mathbf{v}_{l+1}=0. \]
Tämä on ristiriita, koska vektorin \(\mathbf{v}_{l+1}\) piti olla ominaisvektori.

Symmetrisen (hermiittisen) matriisin ominaisarvot

Lause: Symmetrisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia.

Todistus. Olk. \(\mathbf{A}\) Symmetrinen, \(\lambda\) sen ominaisarvo ja \(\mathbf{v}\) vastaava ominaisvektori. Tällöin

\[ \lambda \||\mathbf{v}||^2 = \lambda \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle = \langle \lambda\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle = \langle \mathbf{A}\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle \] \[ = \langle \mathbf{v},\mathbf{A}^T \mathbf{v}\rangle = \langle \mathbf{v},\mathbf{A}\mathbf{v}\rangle = \langle \mathbf{v},\lambda\mathbf{v}\rangle = \bar \lambda||\mathbf{v}||^2. \]

Siten \(\lambda = \bar \lambda\), eli \(\lambda\in \mathbb{R}\).

Esimerkki

Lasketaan matriisin \( \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} \) ominaisarvot ja -vektorit.

Muodostetaan karakteristinen polynomi:

\[ P_{\mathbf{A}} = \det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & -3 \\ -3 & 3-\lambda \end{vmatrix} \] \[ = (1-\lambda)(3-\lambda)-9 = 3 -\lambda -3\lambda +\lambda^2 -9 = \lambda^2-4\lambda -6. \] Ratkaistaan nollakohdat \(P_{\mathbf{A}}(\lambda) = 0\). Saadaan \[ \lambda = \frac{4\pm \sqrt{4^2+24}}{2} = 2\pm \sqrt{10}=: \lambda_{\pm}. \] Seuraavaksi ratkaistaan ominaisvektorit yhtälöstä \( \mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda_{\pm}\mathbf{v}\), eli \( (\mathbf{A}-(2\pm\sqrt{10})\mathbf{I})\mathbf{v}=0. \) Saadaan siis yhtälöt \[ \begin{pmatrix} -1\mp \sqrt{10} & - 3 \\ -3 & 1\mp \sqrt{10} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \] Gaussin eliminoinneilla matriisi saadaan muotoon \[ \left( \begin{array}{cc|c} -1\mp \sqrt{10} & - 3 & 0\\ -3 & 1\mp \sqrt{10} & 0 \end{array} \right) \] \[ \widetilde{}\quad \left( \begin{array}{cc|c} 1\mp \sqrt{10} & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \] Ominaisarvoa \(\lambda_+ = 2+\sqrt{10}\) vastaava ominaisvektori \(\mathbf{v}_+\) voidaan ratkaista yhtälöstä \( (1 + \sqrt{10}) v_1 + 3v_2=0. \)

Esimerkiksi voidaan valita vektori \( \mathbf{v}_+ = \begin{pmatrix} -3 \\1+\sqrt{10} \end{pmatrix}. \)

Samaan tapaan ominaisarvoon \(\lambda_-= 2-\sqrt{10}\) liittyvät ominaisvektorit voidaan ratkaista yhtälöstä \( (1-\sqrt{10}) v_1 + 3v_2=0. \)

Tässä tapauksessa voidaan siis valita vektori

\[ \mathbf{v}_- = \begin{pmatrix} -3 \\1-\sqrt{10} \end{pmatrix}. \]

Esimerkki

Etsi matriisin

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \] ominaisarvot ja -vektorit.

Ratkaisu:

Ominaisarvot saadaan ratkaisemalla yhtälö \( \operatorname{det} (\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0:\)

\[ \operatorname{det}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=\begin{vmatrix} 0-\lambda & 1 \\ -2 & -3-\lambda \end{vmatrix}=-\lambda(-3-\lambda)+2=\lambda^2+3\lambda +2=0 \] \[ \lambda_1=-1 \quad \text{ja} \quad \lambda_2=-2. \] Ratkaistaan ominaisvektorit yhtälöstä \( \mathbf{Av}=\lambda \mathbf{v}\), eli \( (\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{v}=0:\)

\( \lambda_1=-1: \)

\[ (\mathbf{A}-\lambda_1 \mathbf{I})\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=0 \] \[ \left\{ \begin{aligned} x_1+x_2=0\\ -2x_1-2x_2=0 \end{aligned} \right. \] \[ x_1=-x_2 \] \[ \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}. \]

\( \lambda_2=-2: \)

\[ (\mathbf{A}-\lambda_2 \mathbf{I})\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=0 \] \[ \left\{ \begin{aligned} 2x_1+x_2=0\\ -2x_1-x_2=0 \end{aligned} \right. \] \[ x_2=-2x_1 \] \[ \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}. \] Ominaisarvot ovat siis \( \lambda_1=-1\) ja \( \lambda_2=-2\) ja niitä vastaavat ominaisvektorit \( \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) ja \( \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\).

Esimerkki

Etsi matriisin

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 4 & -4 & 2 \\ 2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] ominaisarvot ja ominaisvektorit.

Ratkaisu:

Lasketaan ominaisarvot yhtälöstä

\[ \operatorname{det}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0: \] \[ \begin{vmatrix} 4-\lambda & -4 & 2 \\ 2 & -2-\lambda & 2 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} \] \[ \begin{align} &=(4-\lambda )(-2-\lambda )(1-\lambda )-2(-4)(1-\lambda )\\ &= (1-\lambda )[(4-\lambda )(-2-\lambda )+8]\\&= (1-\lambda )(\lambda^2-2\lambda)\\&= \lambda(1-\lambda)(\lambda-2) = 0. \end{align} \] Tarkastelemme siis karakteristista yhtälöä \[ \lambda (1-\lambda )(\lambda-2)=0, \] jonka nollakohdista saadaan ominaisarvot: \[ \lambda_1=0, \quad \lambda_2=1, \quad \lambda_3=2. \] Lasketaan ominaisvektorit yhtälöstä \[ (\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{v}=0: \] \( \lambda_1=0: \) \[ \begin{pmatrix} 4 & -4 & 2 \\ 2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0 \] Jaetaan ylin rivi kahdella ja vähennetään se keskimmäisestä rivistä: \[ \begin{pmatrix} 4 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0. \] Saadaan yhtälöryhmä \[ \left\{ \begin{aligned} 4x_1-4x_2+2x_3=0\\ x_3=0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} x_1=x_2 \\ x_3=0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}. \] \( \lambda_2=1: \) \[ \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0 \] Saadaan yhtälöryhmä: \[ \left\{ \begin{aligned} 3x_1-4x_2+2x_3=0 \\ 2x_1-3x_2+2x_3=0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} x_1=x_2 \\ x_1=2x_3 \end{aligned} \right. \Rightarrow \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}. \] \( \lambda_3=2:\) \[ \begin{pmatrix} 2 & -4 & 2 \\ 2 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0 \] Saadaan yhtälöryhmä: \[ \left\{ \begin{aligned} 2x_1-4x_2+2x_3=0 \\ -x_3=0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} x_1=2x_2 \\ x_3=0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \mathbf{v}_3=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}. \]
Last modified: Thursday, 1 February 2018, 4:39 PM