Määritelmä: Olkoot \( \mathbf{a}\) ja \( \mathbf{b}\) kaksi avaruuden vektoria. Niiden vektoritulo eli ristitulo on vektori \( \mathbf{a}\times \mathbf{b}\), jolle pätee seuraavat ehdot:

  1. \( \|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\|=\|\mathbf{a} \|\| \mathbf{b}\|\sin \sphericalangle (\mathbf{a},\mathbf{b}), \)
  2. \( \mathbf{a}\times \mathbf{b} \ \bot \ \mathbf{a} \quad \text{ja} \quad \mathbf{a}\times \mathbf{b} \ \bot \ \mathbf{b}, \)

  3. Vektorit \( \mathbf{a},\mathbf{b}, \mathbf{a}\times \mathbf{b}\) muodostavat oikeakätisen systeemin (ks. kuva 1).

    oikean käden sääntö
    Kuva 1. Oikeakätinen systeemi, merkintä \(\sphericalangle (\mathbf{a},\mathbf{b})\) tarkoittaa tässä etusormen ja keskisormen välistä kulmaa (kuvan lähde Wikipedia).

Huom. Jos \(\mathbf{a=0} \), \( \mathbf{b=0}\) tai \(\sphericalangle (\mathbf{a},\mathbf{b}) = 0\), niin myös \( \mathbf{a}\times \mathbf{b}=\mathbf{0}\) (seuraa suoraan 1. ehdosta).

Lause:

\[ \mathbf{a}=\alpha_1 \mathbf{i}+\alpha_2 \mathbf{j}+\alpha_3 \mathbf{k}, \quad \mathbf{b}=\beta_1 \mathbf{i}+ \beta_2 \mathbf{j} + \beta_3 \mathbf{k}; \] \[ \mathbf{a}\times \mathbf{b}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\ \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \end{vmatrix}. \]

Skalaarikolmitulo

\begin{eqnarray*} [\mathbf{a,b,c}] &=\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c} \\ &= \begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\ \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\ \gamma_1 & \gamma_2 & \gamma_3 \end{vmatrix}. \end{eqnarray*}

Pätee: \( [\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]=[\mathbf{c,a,b}]=[\mathbf{b,c,a}]\).


Pinta-ala ja tilavuus

Sininen vektori \(\mathbf{a}\) ja punainen vektori \(\mathbf{b}\) virittävät suunnikkaan. Liikuta vektoreita kärjestä ja tutki, miten ristitulon arvo muuttuu. Mikä yhteys ristitulovektorin \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\) pituudella ja suunnikkaan pinta-alalla on?

Lause:

Vektoreiden \(\mathbf{a}\) ja \( \mathbf{b}\) virittämän suunnikkaan ala on \( \|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\|\).

Vektoreiden \( \mathbf{a,b,c}\) virittämän suuntaissärmiön tilavuus on \( |[\mathbf{a,b,c}]|\).

Todistus:

Suunikkaan ala: kanta \(\times \) korkeus, siis \( \|\mathbf{b}\|\|\mathbf{a}\|\sin \varphi=\|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\|. \)

Suunnikas

Suuntaissärmiön tilavuus: pohja \( \times \) korkeus

\begin{eqnarray*} \|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\|\|\mathbf{c}\|\cos \psi & = \|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\||\mathbf{n}^0\cdot \mathbf{c}| \\ &= \|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\|\left|\frac{\mathbf{a}\times \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\|}\cdot \mathbf{c}\right| \\ &= |\mathbf{a}\times \mathbf{b}\cdot \mathbf{c}|=|[\mathbf{a,b,c}]|. \end{eqnarray*}

Esimerkki

  1. Etsi vektori, joka on kohtisuorassa vektoria \( (1,2,3)\) vastaan. Vihje: Voit käyttää ristituloa jonkin lineaarisesti riippumattoman vektorin kanssa.
  2. Oletetaan, että \( \mathbf{x}\times \mathbf{i}=\mathbf{y}\times \mathbf{i}.\) Päteekö tällöin aina, että \( \mathbf{x}=\mathbf{y}\)? Anna todistus tai vastaesimerkki.

Ratkaisu:

  1. Kahden lineaarisesti riippumattoman vektorin ristitulosta saatu vektori on kohtisuorassa alkuperäisiä vektoreita kohtaan.

    Valitaan vektori, joka ei ole lineaarisesti riippuva vektorin \( (1,2,3)\) kanssa. Esim. vektori \( (1,1,1)\). Lasketaan näiden vektorien ristitulo:

    \[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(2-3)\mathbf{i}-(1-3)\mathbf{j}+(1-2)\mathbf{k}=-\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k}. \] Pistetulolla voidaan tarkistaa, että tulos on oikein: \[ (\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k})\cdot (-\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k})=-1+4-3=0 \]
  2. Oletetaan, että \( \mathbf{x}\times \mathbf{i}=\mathbf{y}\times \mathbf{i}.\)

    Kirjoitetaan \( \mathbf{x}=x_1\mathbf{i}+x_2\mathbf{j}+x_3\mathbf{k}\) sekä \( \mathbf{y}=y_1\mathbf{i}+y_2\mathbf{j}+y_3\mathbf{k}\). Nyt ristituloksi saadaan:

    \begin{align*} \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} & = 0\mathbf{i}+x_3\mathbf{j}-x_2\mathbf{k} \\ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} & = 0\mathbf{i}+y_3\mathbf{j}-y_2\mathbf{k} \end{align*} Ristitulojen tulee olla yhtä suuret, eli \( x_3=y_3\) ja \( x_2=y_2\). Kuitenkin \( x_1\) ja \( y_1\) voivat olla erisuuret, sillä ne eivät vaikuta ristituloon. Tästä voidaan nähdä, ettei aina siis päde, että \( \mathbf{x}=\mathbf{y}\), kun \( \mathbf{x}\times \mathbf{i}=\mathbf{y}\times \mathbf{i}.\)
Last modified: Tuesday, 3 October 2017, 2:21 PM