Gaussin-Jordanin menetelmä

Ongelmanasettelu

Etsi \( \underset{n\times n}{\mathbf{X}}\) s.e. \(\underset{n\times n}{\mathbf{A}}\mathbf{X}=\underset{n\times n}{\mathbf{I}}. \) Tehtävä kirjoitetaan yleensä täydennettynä matriisina muodossa \(\left(\mathbf{A}\mid\mathbf{I}\right)\) ja tavoitteena on saattaa se muotoon \(\left(\mathbf{I}\mid\mathbf{X}\right)\).

Sarakkeittain esitettynä tehtävä on muotoa \(\mathbf{A}(\mathbf{x}_1 \ldots \mathbf{x}_n )=(\mathbf{e}_1 \ldots \mathbf{e}_n)\), missä \( \mathbf{e}_i\):t ovat luonnolliset kantavektorit.

Tehtävä voidaan siis myös hajoittaa \(n\):ään alitehtävään \(\mathbf{A x}_1 = \mathbf{e}_1, \mathbf{A x}_2 = \mathbf{e}_2, \ldots ,\mathbf{A x}_n = \mathbf{e}_n\).

Havaintoja:
  • Eliminaatio ratkaisee \( n\) lineaarista yhtälöryhmää yhtä aikaa!
  • Edellisen nojalla \( \mathbf{X}=\mathbf{A}^{-1}\), mikäli \(\mathbf{A}\) on säännöllinen. Muuten tehtävällä ei ole ratkaisua.
  • Gaussin-Jordanin menetelmää voidaan siis käyttää käänteismatriisin löytämiseen.

Esimerkkilaskuja

Esimerkki

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} \underline{2} & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]
Kerrotaan ensimmäinen rivi \( \frac{1}{2}\):lla ja lisätään se toiseen riviin. Kerrotaan toinen rivi \( \frac{2}{3}\):lla ja lisätään se kolmanteen riviin. Saadaan:
\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} \underline{2} & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \underline{\frac{3}{2}} & -1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \underline{\frac{4}{3}} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 \end{array} \right) \]
Jordan: Vaihdetaan eliminaation suuntaa!

Siinä missä eliminaatio alaspäin eliminoi tuntemattomia, eliminaatio ylöspäin sijoittaa tuntemattomien arvoja edellisiin yhtälöihin.

Kaksi vaihtoehtoa:

  1. Jaetaan vasemmalle lävistäjälle identiteetti, ja sen jälkeen eliminoidaan ylöspäin.
  2. Ensin ylöspäin eliminointi, sitten normeeraus.
Kirjassa valittu b): Jatketaan esimerkkiä:
\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} \underline{2} & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \underline{\frac{3}{2}} & -1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \underline{\frac{4}{3}} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 \end{array} \right) \]
Kerrotaan kolmas rivi \( \frac{3}{4}\):lla ja lisätään se toiseen riviin. Kerrotaan toinen rivi \( \frac{2}{3}\):lla ja lisätään se ensimmäiseen riviin. Saadaan:
\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} \underline{2} & 0 & 0 & \frac{3}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \underline{\frac{3}{2}} & 0 & \frac{3}{4} & \frac{3}{2} & \frac{3}{4} \\ 0 & 0 & \underline{\frac{4}{3}} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 \end{array} \right) \]
Kerrotaan ensimmäinen rivi \(\frac{1}{2}\):lla, toinen rivi \(\frac{2}{3}\):lla ja kolmas rivi \(\frac{3}{4}\):llä. Saadaan:
\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} \underline{1} & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & \underline{1} & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \underline{1} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{array} \right) \]
Saatiin siis
\[ \mathbf{I}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}; \quad \mathbf{A^{-1}}= \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{pmatrix} \]

Esimerkki

Etsi matriisien \( \mathbf{A}\) ja \( \mathbf{B}\) käänteismatriisit:

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}. \]

Ratkaisu:

Lasketaan matriisin \( \mathbf{A} \) käänteismatriisi:

\[ \left( \begin{array}{c c | c c} 0 & 3 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \] Vaihdetaan rivien paikkaa: \[ \left( \begin{array}{c c | c c} 4 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \end{array} \right) \] Jaetaan ylin rivi 4:llä ja alin rivi 3:lla: \[ \left( \begin{array}{c c | c c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & 0 \end{array} \right) \] Käänteismatriisi on muotoa: \[ \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix}. \]

Lasketaan seuraavaksi matriisin \( \mathbf{B}\) käänteismatriisi:

\[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \] Vähenneteään ylin rivi muista riveistä: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \] Vähennetään keskimmäinen rivi ylimmästä ja alimmasta rivistä: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right) \] Vähennetään alin rivi keskimmäisestä rivistä: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right) \] Käänteismatriisi on muotoa: \[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}. \]

Esimerkki

Etsi matriisin

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \] käänteismatriisi.

Ratkaisu:

Lasketaan käänteismatriisi: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \] Vaihdetaan ensimmäisen ja kolmannen rivin paikkaa: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \] Kerrotaan kolmas rivi 4:llä ja vähennetään se toisesta rivistä. \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \] Kerrotaan kolmas rivi 3:lla ja vähennetään se ensimmäisestä rivistä: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 2 & 0 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \] Jaetaan toinen rivi 2:lla: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 2 & 0 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \] Kerrotaan toinen rivi 2:lla ja vähennetään se ensimmäisestä rivistä: \[ \left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \] Näin ollen matriisin \( \mathbf{A}\) käänteismatriisi on \[ \mathbf{A}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
Last modified: Friday, 22 September 2017, 3:42 PM