Alempaa löydät bonus-kierroksen tehtävät. Tehtäviä on yhteensä seitsemän, joista jokainen arvioidaan asteikolla 0/1/2. Se, kuinka monta tehtävää voit enintään tehdä, riippuu siitä, minkä tehtäväkierroksen haluat korvata (sillä eri kierroksilla on ollut eri määrä tehtäviä).

Korvattava kierros	Max. palautettavat	Max. STACKit	Yhteensä	Tee enintään bonus-tehtäviä
1	6	6	12	6
2	8	6	14	7
3	8	5	13	7
4	8	3	11	6
5	8	6	14	7

Jos haluat korvata kierroksen 1 tai 4, tee korkeintaan kuusi bonus-tehtävää. Jos haluat korvata kierroksen 2, 3 tai 5, voit tehdä kaikki seitsemän bonus-tehtävää. Saat valita itse, mitkä bonus-tehtävät teet ja mihin jätät vastaamatta.

Bonus-kierrokselta saaduilla pisteillä korvataan siis aiemman kierroksen pisteen. Pisteitä ei voi saada enempää kuin mitä kyseisellä kierroksella on ollut mahdollista saada. Pisteitä ei voi myöskään menettää osallistumalla bonus-kierrokselle: jos korvattavalta kierrokselta on alunperin paremmat pisteet kuin mitä saat bonus-kierrokselta, ei korvausta tapahdu. Tuloksista parempi jää siis voimaan.

Bonus-kierroksen pisteillä korvataan ensisijaisesti palautettavien tehtävien pisteitä (palautettavien ja STACK-tehtävien pisteillä on eri painokertoimet kokonaisarvioinnissa). Vain jos saat bonus-kierrokselta pisteitä enemmän kuin on korvattavan kierroksen palautettavien tehtävien maksimipisteet, näiden erotuksen katsotaan korvaavan STACK-pisteitä. Muutoin bonus-kierroksen pisteiden katsotaan korvaavan palautettavien tehtävien pisteitä.

Esimerkki: Liisa haluaa korvata neloskierroksen, jolta hän on saanut vain 2 pistettä palautettavista ja 1.5 pistettä STACKeistä. Hän tekee kuusi bonus-kierroksen tehtävää ja saa niistä 9 pistettä (mahdollisista 12 pisteestä). Neloskierroksen palautettavien maksimipisteet ovat 8, joten Liisan aiemmat 2 pistettä korvautuvat nyt 8 pisteellä. Bonus-kierroksen pisteistä jäljelle jäävä yksi piste (9-8=1) katsotaan STACK-pisteeksi. Koska se on kuitenkin vähemmän kuin Liisan aiemmat STACK-pisteet neloskierrokselta, ei korvausta STACK-pisteissä tapahdu. Liisalle jää siten neloskierrokselta voimaan seuraavat pisteet: 8 palautettavista ja 1.5 STACKeistä. (Arviointinäkymässä aiempien kierrosten pisteitä ei kuitenkaan oikeasti muuteta vaan kohtiin "Palautettavien bonus" ja "STACK-bonus" merkitään, paljonko pisteet nousivat bonus-kierroksen ansiosta eli Liisan tapauksessa 6 ja 0.)

Sitten bonus-kierroksen tehtäviin: tehtävät 1-4 ovat peräisin Harrin aiemmasta matriisilaskennan kurssitentistä 11.12.2018 (tentissä oli juurikin nämä neljä kysymystä eikä muuta). Tehtävät 5-7 ovat peräisin eräästä toisesta (kenties Antti Rasilan?) tentistä vuodelta 2017. Tähän tenttiin on ilmeisesti osallistunut myös MOOC-opiskelijoita, mistä syystä arvelin sen sopivan tähän. Tentissä oli näiden kolmen lisäksi kaksi muutakin tehtävää. Kummassakaan kokeessa ei saanut käyttää laskimia eikä taulukkokirjaa. (Jos vanhat matriisilaskennan kokeet kiinnostavat, niitä löytyy tenttiarkisto.fi:stä hakusanalla ms-a000. Matriisilaskennan kurssilla on Aallossa monta eri kurssikoodia, mutta ne ovat kaikki muotoa MS-A000X, jossa X on numero.)

Ja tässä itse tehtävät:

Tehtävä 1 Hae kaikki matriisit \(\mathbf B\), jotka kommutoivat matriisin \[ \mathbf A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \] kanssa, ts. joille pätee \(\mathbf{AB} = \mathbf{BA}\).

Tehtävä 2 Montako yleistä \(\mathbf{PA} = \mathbf{LU}\) -hajotelmaa voi muodostaa, kun \[\mathbf A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}?\] Perustele vastauksesi huolella!

Tehtävä 3

1. Olkoon \[ \mathbf A = \begin{pmatrix} 13 & 8 & 6 \\ -13 & -8 & -4 \\ 8 & 5 & 5 \end{pmatrix}.\] Laske \(\det((-5\mathbf{AA}^\mathrm T)^7)\) käyttämällä determinantin laskusääntöjä.
2. Laske sen kolmion ala, jonka kahtena sivuna ovat vektorit \(\mathbf i + 5\mathbf j - 2\mathbf k\) ja \(3\mathbf i - 2\mathbf j - \mathbf k\).

Tehtävä 4 Osoita muodostamatta polynomiyhtälöä ominaisarvoille, että matriisin \[ \mathbf A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 8 \end{pmatrix} \] ominaisvektorit ovat \(\mathbf x_1 = (1 \; 2)^\mathrm T\) ja \(\mathbf x_2 = (-2 \; 1)^\mathrm T\). Mitkä ovat vastaavat ominaisarvot?

Tehtävä 5 Olkoon \[ \mathbf A = \begin{pmatrix} 3 & -3 & -3 \\ -3 & 2 & 0 \\ 9 & -8 & -5 \end{pmatrix} \quad \text{ja} \quad \mathbf y = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -14 \end{pmatrix}. \]

1. Muodosta matriisin \(\mathbf A\) LU-hajotelma.
2. Ratkaise yhtälö \(\mathbf {Ax} = \mathbf y\) yhtälöiden \(\mathbf {Lz} = \mathbf y\) ja \(\mathbf {Ux} = \mathbf z\) avulla.

Tehtävä 6

1. Olkoon \[ \mathbf A = \begin{pmatrix} 0 & a & 2 \\ 2 & a & 0 \\ 4 & a & a \end{pmatrix}. \] Laske matriisin \(\mathbf A\) determinantti ja anna esimerkki vakion \(a\) arvosta, jolla matriisi \(\mathbf A\) ei ole kääntyvä.
2. Olkoon \[ \mathbf B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \end{pmatrix}. \] Anna esimerkki vektorista \(\mathbf c\), jolla yhtälö \(\mathbf{By} = \mathbf c\)
   1. on ratkeava
   2. ei ole ratkeava.

Tehtävä 7 Olkoon \[ \mathbf A = \begin{pmatrix} 14 & 24 \\ -8 & -14 \end{pmatrix}. \]

1. Diagonalisoi matriisi \(\mathbf A\). Anna karakteristinen polynomi ja matriisit \(\mathbf V\), \(\mathbf \Lambda\) ja \(\mathbf V^{-1}\) siten, että \(\mathbf A = \mathbf{V \Lambda V}^{-1}\).
2. Laske \(\mathbf A^{25}\) matriisin \(\mathbf \Lambda^{25}\) avulla. Vastauksiin saa jäädä potensseja.

Palauta tehtävät normaaliin tapaan. Ja kysy tarvittaessa foorumilla (vinkkejä en ajatellut näihin lisätä ellei erikseen pyydetä). Ilmoita palautuksen yhteydessä selvästi, minkä tehtäväkierroksista 1 - 5 haluat korvata. DL on 22.10, mutta palautuksia arvioidaan sitä mukaan, kun niitä tulee. Jos haluat varmistaa, että saat palautetta vastauksistasi ajoissa ennen kurssikoetta, suosittelen palauttamaan tehtävät jo ennen DL:ä.