Kompleksiluvut


Määritelmä

Kompleksiluku on \(z=x+iy\), missä imaginaariyksikkö \(i\) toteuttaa yhtälön \(i^2=-1\) ja \(x,y\) ovat reaalisia.

  1. Re\((z)= x\) on \(z\):n reaaliosa.
  2. Im\((z)= y\) on \(z\):n imaginaariosa.

Esimerkki

Kompleksiluvun \(4-8i\) reaaliosa on \(4\) ja imaginaariosa \(-8\).

Perusominaisuuksia

Kompleksiluvut \(z=a+i b\) ja \(w=c+i d\) ovat yhtäsuuret täsmälleen silloin, kun \(a=c\) ja \(b=d\).

Erityisesti kompleksiluku \(z=a+ib\) on nolla täsmälleen silloin, kun \(a=0\) ja \(b=0\).

Vertailuoperaatiot \(<,\leq\) eivät ole määriteltyjä kompleksiluvuille.

Kompleksilukujen laskutoimitukset

Olkoot \(z=a+ib\) ja \(w=c+id\) kompleksilukuja. Tällöin laskutoimitukset saadaan seuraavasti.

Summa:

\[ z+w= (a+c)+i(b+d). \]

Erotus:

\[z-w= (a-c)+i(b-d). \]

Tulo:

\[ zw= (a+ib)(c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc).\]

Osamäärä:

\[ \frac{z}{w} = \frac{a+ib}{c+id} \cdot \frac{c-id}{c-id} = \bigg(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\bigg) + i\bigg(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\bigg). \]

Esimerkki

Olkoon \(z=3+4i\), \(w=1-5i\).

\[z+w=4-i,\] \[z-w=2+9i,\] \[ zw = 3\cdot1+4\cdot5+i(4\cdot 1- 3\cdot 5)=23-11i,\] \[\frac{z}{w} = \Big(\frac{3\cdot 1-4\cdot5}{1^2+5^2}\Big) + i\Big(\frac{4\cdot1+3\cdot5}{1^2+5^2}\Big)= -\frac{17}{26}+\frac{19}{26}i.\]

Imaginääriyksikön potenssit

\[ i^2=-1,\qquad i^3=-i,\qquad i^4=1, \dots\] \[ \frac{1}{i} = -i, \qquad \frac{1}{i^2}=-1, \qquad \frac{1}{i^3}=i,\dots \]

Reaaliluvut ja kompleksiluvut

Jos \(z=a+0i\), niin \(z\) on reaaliluku.

Kaikki tähän mennessä annetut kaavat ovat tosia myös reaaliluvuille.

Jos imaginaariosa on nolla, kaavat palautuvat tunnetuiksi reaalilukujen ominaisuuksiksi.

Kompleksilukujen algebraa

Vaihdannaisuus:

\[z+w=w+z,\qquad zw=wz. \]

Liitännäisyys

\[(z+w)+u=z+(w+u),\qquad (zw)u=z(wu).\]

Osittelulaki:

\[ z(w+u)=zw+zu.\]

Kompleksikonjugaatti eli liittoluku

Kompleksiluvun \(z=x+iy\) kompleksikonjugaatti eli liittoluku \(\bar z\) määritellään \(\bar z=x-iy\).

Liittoluvun geometrinen tulkinta

Liittoluvun laskusääntöjä

\[\overline{z+w}= \bar z+\bar w, \qquad \overline{zw}=\bar z \bar w.\] \[\overline{z-w}= \bar z-\bar w, \qquad \overline{z/w}=\bar z/\bar w.\] \[z+\bar z= 2 \ \ \text{re}(z), \qquad z-\bar z = i 2 \ \,\text{im}(z).\] \[\text{re}(z) =\frac{z+\bar z}{2}, \qquad \text{im}(z)=\frac{z-\bar z}{2i}.\] \[ \bar{\bar{z}} = z.\]

Seuraus 1: Reaalikertoimiselle kompleksimuuttujan polynomille

\[ P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\ldots +a_nz^n \]

pätee \(\overline{P(z)}=P(\bar z)\).


Todistus: Lasketaan

\[ \overline{P(z)}= \overline{a_0+a_1z+a_2z^2+\ldots +a_nz^n} = \bar a_0+\bar a_1\bar z+\bar a_2\bar z^2+\ldots +\bar a_n\bar z^n. \]
Koska \(a_k\) on reaalinen, \(\bar a_k=a_k\) kaikilla \(k=0,\ldots,n\), saadaan
\begin{eqnarray*} P(\bar z) &= a_0+a_1\bar z+a_2\bar z^2+\ldots +a_n\bar z^n \\ &= \bar a_0+\bar a_1\bar z+\bar a_2\bar z^2+\ldots +\bar a_n\bar z^n =\overline{P(z)}. \end{eqnarray*}

Seuraus 2: Reaalikertoimisen polynomin nollakohta on joko reaalinen tai kompleksisessa tapauksessa liittolukupari.

Todistus:

Olkoon \(z=x+iy\) reaalikertoimisen polynomin \(P\) kompleksinen nollakohta.

Edellisen nojalla saadaan

\[ 0=\bar 0= \overline{P(z)} = P(\bar z), \]
joten myös \(\bar z\) on \(P\):n nollakohta.

Kompleksitaso

(Caspar Wessel 1797, Jean Argand 1806)

Moduli eli itseisarvo:

\[ r\equiv |z| =\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\bar z}. \]

Argumentti eli vaihekulma:

\[ \theta \equiv \arg z=\arctan \frac{y}{x}. \]

Esimerkki

  1. Olkoon \( z=3+2i\). Laske \[ \text{Re}(1/\bar z^2). \]
  2. Osoita, että jos \( z\in \mathbb{C}\) ja \( |z|=1\), niin \( \bar z=1/z\).

Ratkaisu:

  1. Kompleksikonjugaatti: \[ \bar z = 3-2i \] \[ \frac{1}{\bar z^2}=\frac{1}{(3-2i)^2}=\frac{1}{9-12i+4i^2}=\frac{1}{5-12i} \] Lavennetaan nimittäjän kompleksikonjugaatilla: \[ \frac{5+12i}{(5-12i)(5+12i)}=\frac{5+12i}{5^2+12^2}=\frac{5+12i}{169} \] Reaaliosa: \[ \text{Re}\left(\frac{1}{\bar z}\right)=\frac{5}{169}. \]
  2. Kirjoitetaan, että \( z=x+yi\) \[ |z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z \bar z} \] \[ |z|=1. \] Saadaan yhtälö \[ \sqrt{z \bar z}=1 \Rightarrow z\bar z=1 \Rightarrow \bar z=\frac{1}{z}. \]

Modulin ominaisuuksia

Koska kompleksiluvun moduli on (positiivinen) reaaliluku, vertailuoperaatiot \(<,\leq,>,\geq\) ovat määriteltyjä.

Kerto ja jakolasku:

\[ |zw|=|z||w|, \qquad\bigg|\frac{z}{w}\bigg| = \frac{|z|}{|w|}. \]

Kolmioepäyhtälö:

\[ |z+w|\leq |z|+|w|. \]

Argumentin päähaara

Argumentin arvot ovat välillä
\[ -\pi < \theta \equiv \arg z \leq +\pi . \]
Yleisesti:
\[\arg z = \theta +2n\pi,\]
missä \(\theta\) on päähaaran arvo ja \(n\) on mikä tahansa kokonaisluku.

Yhteen- ja vähennyslaskun geometrinen tulkinta

Kompleksilukujen yhteen- ja vähennyslasku vastaavat vektorien laskutoimituksia.

Yhteen- ja vähennyslaskun geometrinen tulkinta

Polaarimuoto

Kuvasta nähdään: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x &=&r \cos \theta,\\ y &=& r\sin \theta. \end{array}\right. \] Siis \begin{eqnarray*} z &=& x+iy \\ &=& r\cos \theta +ir \sin \theta. \end{eqnarray*} Saadaan kompleksiluvun esitys polaarimuodossa : \[ z=r(\cos \theta + i \sin\theta). \] Kompleksitaso

Esimerkki

Olkoon \( z_1=1+2i\) ja \( z_2=1-i\) kompleksilukuja.

  1. Laske \( w=z_1z_2\).
  2. Laske \( |w|\)
  3. Esitä luku \( w\) polaarimuodossa.

Ratkaisu:

  1. \[ w=z_1z_2=(1+2i)(1-i)=1\cdot 1-1\cdot i+2i\cdot 1-2i\cdot i=1+i-2i^2. \] Koska \( i^2=-1\), saadaan \[ w=1+i-2(-1)=3+i. \]
  2. \[|w|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}. \]
  3. Polaarimuoto: \( w=re^{i\varphi}=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)\) \[ r=|w|=\sqrt{10} \] \[ \tan \varphi =\frac{y}{x}=\frac{1}{3}\quad \Rightarrow \quad \varphi=\arctan \frac{1}{3} \] \[ w=\sqrt{10} e^{i \arctan \frac{1}{3}}. \]

Eulerin kaava

Eksponenttifunktiolle ja trigonometrisille funktioille ovat voimassa seuraavat sarjaesitykset:

\begin{equation} e^x = 1+ x + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+\ldots +\frac{x^n}{n!}+\ldots \end{equation} \begin{equation} \sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots+\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\ldots \end{equation} \begin{equation} \cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\ldots+\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}+\ldots \end{equation}

Jos hyväksytään annetut sarjaesitykset, niin:

\begin{eqnarray*} e^{ix} &=& 1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\ldots\\ &=& 1+ix+\frac{i^2 x^2}{2!}+\frac{i^3x^3}{3!}+\ldots\\ &=& 1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots + i\Big(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots\Big)\\ &=& \cos(x) + i\sin(x). \end{eqnarray*}
Saadaan Eulerin kaava:
\begin{equation} e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta. \end{equation}

Seurauksia, identiteetit trigonometrisille funktioille*

Koska

\begin{eqnarray*} e^{-i\theta} &=& \cos(-\theta) + i\sin(-\theta) \\ &=& \cos(\theta) - i \sin(\theta). \end{eqnarray*}
Saadaan seuraavat kaavat:
\begin{equation} \cos \theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin \theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}. \end{equation}

Yleisesti kompleksiluvulle \(z=x+iy\) voidaan kirjoittaa

\[ \cos z=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}),\qquad \sin z=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}). \]
Edelleen, voidaan myös määritellä
\[ \tan z=\frac{\sin z}{\cos z},\qquad \cot z=\frac{\cos z}{\sin z}. \]

Kertolaskun geometrinen tulkinta

Sovelletaan Eulerin kaavaa kompleksilukujen kertolaskuun:

\[ w= z_1 z_2 = r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2} = (r_1r_2)e^{i(\theta_1 + \theta_2)}. \]

Kompleksilukujen kertolaskussa

  1. Modulit kerrotaan: \(|z_1 z_2| = |z_1||z_2|\).
  2. Argumentit lasketaan yhteen: \(\arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)\).

Identiteettejä eksponenttifunktiolle

\[|e^{i\theta}| = |\cos \theta +i\sin\theta| = \sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta} = 1.\]
Siis
\[ |e^{i\theta}| = 1. \]
Koska \(e^{z}=e^{x+iy} = e^x e^{iy} = e^x(\cos y + i\sin y)\), saadaan
\[ |e^z|=e^x,\qquad \arg(e^z)=y, \] \[ e^{i2\pi}=1,\quad e^{i\pi /2} = i,\quad e^{i\pi}=-1\text{ ja }e^{-i\pi/2}=-i. \] \[ e^{z+i2\pi}=e^z e^{i2\pi}=e^z. \]

De Moivren kaava*

Lasketaan esitys kompleksiluvun kokonaislukupotenssille:

\[ z^n= (re^{i\theta})^n= r^ne^{i(n\theta)}= r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta). \]
Erityisesti, jos \(r=1\), saadaan:

Lause (De Moivre)

\[ (\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n \theta. \]

Kompleksilukujen juuret*

De Moivren kaava on erityisen hyödyllinen etsittäessä kompleksiluvun \(z_0\neq 0\), \(n\):nsiä juuria. Jos \(z^n=z_0\), voidaan kirjoittaa \(z=re^{i\theta}\) ja \(z_0=r_0e^{i\theta_0}\), ja saadaan

\[ r^ne^{in\theta} = r_0e^{i\theta_0}, \]
eli
\[ r=\sqrt[n]{r_0}\text{ ja }n\theta=\theta_0+2k\pi, \]
missä \(r=\sqrt[n]{r_0}\) on positiivisen reaaliluvun \(r_0\) \(n\):s juuri.

Kaikki luvun \(z\) \(n\):net juuret saadaan siis kaavasta

\begin{equation} \sqrt[n]{|z_0|}e^{i(\theta_0+2k\pi)/n}, \end{equation}

missä \(k\) on mikä tahansa kokonaisluku. Havaitaan myös, että jokainen \(k=0,1,\ldots,n-1\) antaa eri arvon, mutta muut \(k\):n arvot vain toistavat jonkun edellisistä, koska \(e^{2\pi ik}=1\). Siten kompleksiluvulla \(z_0\neq 0\) on täsmälleen \(n\) erillistä \(n\):ttä juurta.

Kaavasta havaitaan myös, että kaikki juurilla on sama itseisarvo \(\sqrt[n]{|z_0|}\), ja argumentit ovat tasavälisiä. Siksi kaikki juuret sijaitsevat origokeskisen ympyrän, jonka säde on \(\sqrt[n]{|z_0|}\) kehällä.


Olemme osoittaneet:

Lause

Jos \(z=re^{i\theta}\neq 0\), yhtälöllä \(w^n=z\) on täsmälleen \(n\) erillistä ratkaisua, jotka saadaan kaavasta

\[ w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta + 2k\pi)/n}, \]
missä \(k=0,1,\ldots,n-1\), \(\sqrt[n]{r}\) on luvun \(r=|z|\) positiivinen \(n\):äs juuri ja \(\theta=\arg z\).

Esimerkki

Ykkösen \(n\):net juuret saadaan kaavasta \[ \omega_k = e^{i2k\pi/n}, \qquad k=0,1,\ldots,n-1. \]
n=3 n=4 n=8
Kuva: Ykkösen \( n:\)net juuret, kun \(n=3,4\) ja \(8\).

Jos asetetaan \(\omega = e^{2\pi i/n}\), niin kaikki ykkösen \(n\):nnet juuret ovat \(1,\omega,\omega^2,\omega^3,\ldots,\omega^{n-1}\).

Jos \(\omega \neq 1\), saadaan \(\omega^n=1\), eli

\[0=\omega^n-1=(\omega-1)(1+\omega+\omega^2+\ldots+\omega^{n-1}).\]

Saadaan:

\[ 1+\omega+\omega^2+\ldots+\omega^{n-1}=0\qquad(\omega=e^{i2\pi/n}). \]

Kompleksiset matriisit*

Matriisilaskennassa avaruuden \(\mathbb{C}^n\) alkioita käsitellään sarakevektoreina (pystyvektoreina)

\[ \mathbf{v} = (v_1,v_2,\ldots,v_n)= \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^n. \]
Tällöin lineaarikuvaukset ovat aina muotoa
\[ \mathbf{Av} = (a_{11}v_1 + \ldots + a_{1n}v_n, \ldots , a_{m1}v_1 + \ldots + a_{mn}v_n) \] \[ = \begin{pmatrix} a_{11}v_1 + \ldots + a_{1n}v_n \\ \vdots \\ a_{m1}v_1 + \ldots + a_{mn}v_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} &\cdots& a_{1n}\\ \vdots && \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1\\ \vdots \\v_n \end{pmatrix}. \]

Edellisessä käytettiin aikaisemmin käsiteltyä matriisituloa.

Käytännössä siis lineaarikuvaukset \(\mathbf{A}\colon \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m\) ja matriisit \(\mathbf{A}\in \mathbb{C}^ {m\times n}\) voidaan samastaa keskenään.

Tällöin kuvausten \( \mathbf{A} \colon \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^p\) ja \(\mathbf{B}\colon \mathbb{C}^p \to \mathbb{C}^m\) yhdistetty kuvaus \(\mathbf{B} \circ \mathbf{A} \colon \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m\) vastaa matriisituloa \(\mathbf{BA}\in \mathbb{C}^{m\times n}\).

Matriisiyhtälö \(\mathbf{Av}= \mathbf{w}\) vastaa lineaarista yhtälöryhmää

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}v_1 + \ldots + a_{1n}v_n &=& w_1,\\ \vdots & & \vdots\\ a_{m1}v_1 + \ldots + a_{mn}v_n &=& w_m.\end{array}\right. \]
Last modified: Wednesday, 27 September 2017, 12:07 PM