Aalto MOOC Matriisilaskenta 2019
Vektorit ja lineaariyhdistelyt
Määritelmiä
Matematiikassa vektorilla tarkoitetaan yleensä pysty- eli sarakevektoria. Olkoon \(\mathbf{v} \in \mathbb{R}^2\) kaksiulotteinen tason vektori, jolloin sitä merkitään seuraavasti:
\(\mathbf{v}= \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix}, \)
missä \(v_1, v_2\) ovat \(\mathbf{v}\):n komponentit. Tässä \(v_1\) on \(\mathbf{v}\):n pituus \(x\)-suunnassa ja \(v_2\) on sen pituus \(y\)-suunnassa.
Vastaavasti on olemassa vaaka- eli rivivektori. Lineaarialgebrassa näillä merkintätavoilla on eroa, sillä mm. matriisikertolasku toimii eri tavalla vaaka- ja pystyvektoreille. Pystyvektorista saadaan vaakavektori transponoimalla eli ottamalla siitä transpoosi. Kyseistä operaatiota merkitään seuraavasti:\(\mathbf{v}^{T} =
\begin{pmatrix}
v_{1} \\
v_{2}
\end{pmatrix}^{T} = \left( v_{1} \ \ v_{2} \right)\).
Lukiosta tuttua yksikkökantavektoriesitysmuotoa
\(\mathbf{v}=v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j}, \ \ \mathbf{i}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) ja \( \ \mathbf{j}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)näkee matematiikassa harvemmin, sillä siitä ei yksikäsitteisesti ilmene onko kyseessä pysty- vai vaakavektori ja korkeammissa ulottuvuuksissa symbolien kirjoitus kantavektoreille käy työlääksi.
Laskutoimituksia
Yhteenlasku
Kaksi vektoria lasketaan yhteen summaamalla niiden komponentit toisiinsa: \( \mathbf{v}= \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix}, \mathbf{w}= \begin{pmatrix} w_{1} \\ w_{2} \end{pmatrix};\quad \mathbf{v+w}= \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} w_{1} \\ w_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{1}+w_1 \\ v_{2}+w_2 \end{pmatrix}. \)
Esimerkki
\[ \mathbf{v}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \mathbf{w}= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}; \quad \mathbf{v+w}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+3 \\ 2+4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}. \]Monellako eri tavalla saat muodostettua punaisen vektorin \(\mathbf{a}\) laskemalla yhteen sinisiä vektoreita? Siirrä sinisiä vektoreita ja kokeile! Kirjoita tämän jälkeen paperille nämä yhteenlaskut. Käytä ruudukkoa apuna muodostaessasi vektoreiden komponenttiesitykset.
Kertominen skalaarilla
Vektori voidaan kertoa skalaarilla eli jollakin luvulla siten, että jokainen komponentti kerrotaan kyseisellä luvulla erikseen:
\( 2\mathbf{v}= \begin{pmatrix} 2v_{1} \\ 2v_{2} \end{pmatrix}; \quad \mathbf{-w}= \begin{pmatrix} -w_{1} \\ -w_{2} \end{pmatrix}. \)Näin saadaan vektorien vähennyslasku \( \mathbf{v}-\mathbf{w}=\mathbf{v}+(-1)\mathbf{w} \). Huomaa, että \(\mathbf{v}-\mathbf{v}=\mathbf{v} +(-1)\mathbf{v}=\mathbf{0}\), missä \(\mathbf{0}\) on vektori, jonka kaikki komponentit ovat nollia.
Esimerkki
\[ \mathbf{v}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \mathbf{w}= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}; \quad 2\mathbf{v-w}= \begin{pmatrix} 2\cdot 1-3 \\ 2\cdot 2-4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}. \]Lineaariyhdistelyt
Vektoreiden \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) lineaariyhdistely on lauseke muotoa \(c\mathbf{v}+d\mathbf{w}\), missä \(c\) ja \(d\) ovat skalaareja (reaalilukuja). Lineaariyhdistely tuottaa uuden vektorin, joka on komponenttiensa painotettu summa. Lineaariyhdistelemällä kahta eri suuntaista vektoria kaikilla mahdollisilla eri tavoilla saadaan tuotettua jonkin tason kaikki pisteet (paikkavektorit). Sanotaan, että jos \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) ovat eri suuntaiset, ne virittävät tason eli ovat jonkin tason kantavektoreita.
Määritelmä
Olkoon joukko \(\mathbf{x}=\{\mathbf{x}_1, ..., \mathbf{x}_m\}\) (vektoreita) ja vastaavasti \(\mathbf{a}=\{a_1, ... , a_m\}, m\geq 1 \) (skalaareja). Eräs lineaariyhdistely on tällöin \(\mathbf{y}=\sum\limits_{j=1}^m a_j \mathbf{x}_j.\)Vektorit lukiossa ja tällä kurssilla
Matriisilaskun vektorit eroavat ns. fysikaalisista vektoreista, koska origo on aina kiinnitetty ja sitä esittää jo edellä nähty nollavektori. Vektorin komponenttien lukumäärä on sen dimensio. Koulugeometria käsittelee vektoreita, joiden komponenttien lukumäärä on kaksi tai kolme, mutta osoittautuu, että on mielekästä tarkastella myös korkeampia dimensioita.
Geometriset tulkinnat
Olkoot \(\mathbf{u,v,w} \in \mathbb{R}^n \ n\)-ulotteisen avaruuden vektoreita siten, että \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat eri suuntaiset ja \(\mathbf{w}\) ei kuulu niiden virittämään tasoon. Tällöin lineaariyhdistelyillä
- \( c\mathbf{u} \)
- \( c\mathbf{u}+d\mathbf{v} \)
- \( c\mathbf{u}+d\mathbf{v}+e\mathbf{w} \)
on geometriset tulkinnat, kun tarkastellaan kaikkien lineaariyhdistelyiden joukkoa eli kun skalaarit \(c, d, e\) saavat kaikki mahdolliset reaalilukuarvot. Tällöin saadaan a) suora, b) taso, c) avaruus (3D). Huomataan, että jos esimerkiksi a-kohdan vektoria \(\mathbf{u}\) skaalataan kaikilla reaalilukuarvoilla, saadaan lopputuloksena vektorin \(\mathbf{u}\) suuntaisen (origon kautta kulkevan) suoran kaikki pisteet.