Matriisi \(\mathbf{A}\in \mathbb{C}^{n\times n}\) on normaali , jos \(\mathbf{A}^*\mathbf{A} = \mathbf{A}\mathbf{A}^*\).

  1. Hermiittinen matriisi on normaali, koska \(\mathbf{A}^*\mathbf{A} = \mathbf{A}\mathbf{A} = \mathbf{A}\mathbf{A}^*\).
  2. Unitaarinen matriisi on normaali, koska \(\mathbf{U}^* \mathbf{U} = \mathbf{I} = \mathbf{U}\mathbf{U}^*\).

Lause: Matriisi \(\mathbf{A}\) on normaali jos ja vain jos se on unitaarisesti diagonalisoituva , eli se voidaan esittää muodossa \(\mathbf{A}= \mathbf{U}\Lambda\mathbf{U}^*\) jollakin unitaarisella \(\mathbf{U}\) ja diagonaalisella \(\Lambda\).

Todistus:

Olkoon \(\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{T}\mathbf{U}^*\) Schurin hajotelma matriisille \(\mathbf{A}\). Matriisin \(\mathbf{A}\) normaalisuus on yhtäpitävää sen kanssa, että \(\mathbf{A}\mathbf{A}^*=\mathbf{A}\mathbf{A}^*\).

Siten

\[ (\mathbf{U}\mathbf{T}\mathbf{U}^*)^*(\mathbf{U}\mathbf{T}\mathbf{U}^*) = (\mathbf{U}\mathbf{T}\mathbf{U}^*)(\mathbf{U}\mathbf{T}\mathbf{U}^*)^*, \]
ja siis
\[ \mathbf{U}\mathbf{T}^*\mathbf{U}^*\mathbf{U}\mathbf{T}\mathbf{U}^*=\mathbf{U}\mathbf{T}\mathbf{U}^*\mathbf{U}\mathbf{T}^*\mathbf{U}^*. \]
Koska \(\mathbf{U}\) on unitaarinen, \(\mathbf{U}\mathbf{U}^*=\mathbf{I}=\mathbf{U}^*\mathbf{U}\), ja saadaan
\[ \mathbf{U}\mathbf{T}^*\mathbf{T}\mathbf{U}^*=\mathbf{U}\mathbf{T}\mathbf{T}^*\mathbf{U}^*. \]

Kertomalla puolittain matriiseilla \(\mathbf{U}^*\) ja \(\mathbf{U}\), saadaan

\begin{equation} \mathbf{T}^*\mathbf{T}=\mathbf{T}\mathbf{T}^*. \end{equation}

Yläkolmiomatriisi, jolle yllä oleva pätee, on diagonaalimatriisi, joten väite on todistettu.

Seuraus: Normaalin matriisin eri ominaisarvoja vastaavat normeeratut ominaisvektorit ovat ortonormaaleja.

Samaa ominaisarvoa vastaavat ominaisvektorit voidaan ortonormalisoida Gram-Schmidt -algoritmilla.

Esimerkki

Osoitetaan, että matriisi \[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] on normaali ja diagonalisoidaan se unitaarisesti.

Lasketaan

\[ \mathbf{A}^* \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix}. \] Edelleen, \[ \mathbf{A} \mathbf{A}^* = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix}, \] eli sama tulos kuin edellä joten \(\mathbf{A}\) on normaali.

Etsitään matriisin \(\mathbf{A}\) ominaisarvot:

\[ \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = \begin{vmatrix} -\lambda & 1\\ -1 & -\lambda \end{vmatrix}= \lambda^2+1 =(\lambda -i)(\lambda +i), \] eli \(\lambda_{\pm} = \pm i\).

Ratkaistaan yhtälöt \(\mathbf{A} \mathbf{x} = \lambda_{\pm} \mathbf{x}\). Saadaan

\[ \begin{pmatrix} \mp i & 1 \\ -1 &\mp i \end{pmatrix} \quad \widetilde{} \quad \begin{pmatrix} \mp i & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \] eli \(\mp i x_1 + x_2 =0\).

Valitaan

\[ \mathbf{v}_{\pm} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ \pm i \end{pmatrix}. \] Siten \begin{eqnarray*} \mathbf{A} & = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i & 0 \\0 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\ & = \mathbf{U}\Lambda\mathbf{U}^*. \end{eqnarray*}
Last modified: Monday, 23 November 2015, 10:22 AM