Määritelmä: Matriisit \(\mathbf{A}\in \mathbb{C}^{n\times n}\) ja \(\mathbf{B}\in \mathbb{C}^{n\times n}\) ovat similaariset , jos \(\mathbf{A} = \mathbf{V}\mathbf{B}\mathbf{V}^{-1}\) jollakin \(\mathbf{V}\in \mathbb{C}^{n\times n}\). Tällöin merkitään \(\mathbf{A}\approx \mathbf{B}\).

Intuitiivisesti matriisien similaarisuus tarkoittaa, että ne ovat kannanvaihtoa vaille samat.

Matriisia \(\mathbf{V}\) voi myös ajatella eräänlaisena ''normalisointina''. Tämän tapaisia määritelmiä esiintyy monissa matemaattisissa teorioissa.

Similaarisuus on ekvivalenssirelaatio, toisin sanoen pätee:

  1. \(\mathbf{A}\approx \mathbf{A}\).
  2. Jos \(\mathbf{A}\approx \mathbf{B}\), niin \(\mathbf{B}\approx \mathbf{A}\).
  3. Jos \(\mathbf{A}\approx \mathbf{B}\) ja \(\mathbf{B}\approx \mathbf{C}\), niin \(\mathbf{A}\approx \mathbf{C}\).

Matriisi \(\mathbf{V}\) voidaan tulkita kannanvaihtona seuraavasti: Olkoon \(\mathbf{V}=\begin{pmatrix} \mathbf{v}_1 \cdots \mathbf{v}_n \end{pmatrix} \in\mathbb{C}^{n\times n}\) kääntyvä.

Tällöin vektorit \(\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}\) ovat lineaarisesti riippumattomia ja siis avaruuden \(\mathbb{C}^n\) kanta.

Nyt jokainen \(\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\) voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa \(\mathbf{x}=c_1\mathbf{v}_1+\ldots +c_n\mathbf{v}_n\).

Tällöin pätee

\[ \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\x_n \end{pmatrix} = c_1 \mathbf{v}_1+ \ldots + c_n\mathbf{v}_n = \begin{pmatrix} \mathbf{v}_1 \cdots \mathbf{v}_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1\\ \vdots \\c_n \end{pmatrix}, \]
eli \(\mathbf{x} = \mathbf{V}\mathbf{c}\).

Matriisin \(\mathbf{A}\) määräämä lineaarikuvaus voidaan esittää kannassa \(\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}\) seuraavasti:

\[ \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{V}(\mathbf{V}^{-1}\mathbf{A} \mathbf{V})\mathbf{c}, \]
missä \((\mathbf{V}^{-1}\mathbf{A} \mathbf{V})\mathbf{c}\) ovat vektorin \(\mathbf{A}\mathbf{x}\) koordinaatit kannassa \(\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}\).

Lause: Jos \(\mathbf{A}\approx \mathbf{B}\), niin niillä on samat ominaisarvot.

Todistus. Matriisin \(\mathbf{A}\) karakteristiselle polynomille

\[ P_{\mathbf{A}}(\lambda) = \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = \det(\mathbf{V}\mathbf{B}\mathbf{V}^{-1}-\lambda \mathbf{V}\mathbf{V}^{-1}) =\det\big(\mathbf{V}(\mathbf{B}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{V}^{-1}\big) \] \[ = \det(\mathbf{V})\det(\mathbf{B}-\lambda\mathbf{I}) \det(\mathbf{V}^{-1})=\det(\mathbf{B}-\lambda\mathbf{I})=P_{\mathbf{B}}(\lambda), \]
koska \(\det(\mathbf{V})\det(\mathbf{V}^{-1})=\det(\mathbf{V}\mathbf{V}^{-1})=\det(\mathbf{I})=1\)

Koska matriisin ominaisarvot ovat sen karakteristisen polynomin nollakohdat, saadaan \(\sigma(\mathbf{A})=\sigma(\mathbf{B})\).

Остання зміна: пʼятниця 20 листопада 2015 14:02 PM