Positiividefiniitti matriisi

Hermiittinen matriisi \(\mathbf{A}\in \mathbb{C}^{n\times n}\) on positiividefiniitti, jos \( \langle \mathbf{u,Au} \rangle >0\) kaikilla \(\mathbf{u}\in \mathbb{C}^n\setminus\{0\}\).

Symmetrinen matriisi \(\mathbf{A}\in \mathbb{R}^{n\times n}\) on positiividefiniitti, jos \(\mathbf{u}^T\mathbf{Au}= \langle \mathbf{u,Au} \rangle >0\) kaikilla \(\mathbf{u}\in \mathbb{R}^n\setminus\{0\}\).

Huom. Jos \(\mathbf{Au} = 0\) saadaan \( \langle \mathbf{u,Au} \rangle =0\) , eli \( \mathbf{u}=0\), kun \(\mathbf{A}\) on positiividefiniitti.

Siten positiividefiniitille matriisille \( \mathbf{A}\in \mathbb{C}^{n\times n}\) pätee aina \( N(\mathbf{A})=0\).

Dimensiolauseen nojalla \( \dim R(\mathbf{A})=n\), eli \(\mathbf{A}\) on kääntyvä (on olemassa käänteismatriisi \(\mathbf{A}^{-1}\) ).


Cholesky-hajotelma

Olkoon \(\mathbf{A}\in\mathbb{C}^{n\times n}\) hermiittinen ja positiividefiniitti. Tällöin voidaan muodostaa hermiittinen LU-hajotelma eli Cholesky-hajotelma \(\mathbf{A}=\mathbf{U}^* \mathbf{U}\), missä \(\mathbf{U}\) on yläkolmiomatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat positiivisia.

Jos \( \mathbf{A}\in \mathbb{R}^{n\times n}\), niin myös \(\mathbf{U}\in \mathbb{R}^{n\times n}\).

Huom. Tällainen hajotelma on olemassa vain hermiittisille ja positiividefiniiteille matriiseille.

Matriisin positiividefiniittisyyttä voidaan tutkia yrittämällä muodostaa Cholesky-hajotelma.

Esimerkki

Yritetään muodostaa Cholesky-hajotelma \( \mathbf{A}=\mathbf{U}^*\mathbf{U}\) matriisille

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 14 \\ 2 & 17 & -5 \\ 14 & -5 & 83 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \bar u_{11} & & \\ \bar u_{12} & \bar u_{22} & \\ \bar u_{13} & \bar u_{23} &\bar u_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ & u_{22} & u_{23} \\ && u_{33} \end{pmatrix} \]

Ensimmäiseltä riviltä saadaan \(4=|u_{11}|^2\), valitaan positiivinen ratkaisu \(u_{11}=2\).

Saadaan myös \(\bar u_{11}u_{12}=2\), eli \(u_{12}=1\).

Edelleen \( \bar u_{11}u_{13}=14\), joten \(u_{13}=7\).

Vastaavasti toisesta rivistä saadaan \(|u_{12}|^2+|u_{22}|^2=17\), joten \(|u_{22}|^2=16\). Valitaan \(u_{22}=4\).

Lisäksi \(\bar u_{12}u_{13}+ \bar u_{22}u_{23}=-5\), ja siis \(u_{23}=-3\).

Kolmannelta riviltä saadaan yhtälö \(|u_{13}|^2 + |u_{23}|^2 + |u_{33}|^2 =83\), eli \(|u_{33}|^2 = 25\). Valitaan \(u_{33}=5\).

Saadaan siis

\[ \mathbf{U} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 7 \\ 0 & 4 & -3 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}. \]

Huomautuksia

Cholesky-hajotelman laskeminen vaatii noin puolet LU-hajotelman laskemisessa vaadittavasta työstä.

Yleisesti algoritmi voidaan kirjoittaa muodossa

\[ u_{kk} = \sqrt{a_{kk} - \sum_{l=1}^{k-1} |u_{lk}|^2}, \] \[ u_{kj} = \frac{1}{u_{kk}} \Big( a_{kj} - \sum_{l=1}^{k-1} \bar u_{lk} u_{lj}\Big), \qquad j>k. \]

Juuren alla oleva luku on aina positiivinen, jos matriisi \(\mathbf{A}\) on positiividefiniitti. Muuten algoritmi katkeaa.

Last modified: Sunday, 4 February 2018, 2:34 PM