Videolla puhutaan jo käänteismatriiseista, mutta asia käsitellään tarkemmin vasta seuraavan viikon materiaaleissa, joten katso videosta vain matriisien laskutoimituksia käsittelevä ensimmäinen puolisko.

Yhteenlasku

Vaihdannaisuus:

\[ \mathbf{A+B} = \mathbf{B+A} \]

Osittelulaki:

\[ c(\mathbf{A+B}) = c\mathbf{A}+c\mathbf{B} \]

Liitännäisyys:

\[ \mathbf{A+(B+C)} = \mathbf{(A+B)+C} \]

Tulo (ei yleensä vaihdannainen)

Vasen osittelulaki:

\[ \mathbf{C(A+B)} = \mathbf{CA+CB} \]

Oikea osittelulaki:

\[ \mathbf{(A+B)C} = \mathbf{AC+BC} \]

Liitännäisyys:

\[ \mathbf{A(BC)} = \mathbf{(AB)C} \]

Tulon eksponenttilait neliömatriiseille

Neliömatriiseille \( \underset{m\times m}{\mathbf{A}}\) on voimassa matriisien tulon eksponenttilait:

\[ \mathbf{A}^p = \underbrace{\mathbf{AA\ldots A}}_{\text{p kpl}} \] \[ \mathbf{A}^p\mathbf{A}^q = \mathbf{A}^{p+q} \] \[ (\mathbf{A}^p)^q = \mathbf{A}^{pq} \]

Esimerkki

Osoita, että \( (\mathbf{A+B})^2\) on eri kuin \( \mathbf{A}^2+2\mathbf{AB}+\mathbf{B}^2\), kun

\[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \mathbf{B}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}. \]

Ratkaisu

\[ \mathbf{A}+\mathbf{B}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \] \[ (\mathbf{A}+\mathbf{B})^2=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10 & 4 \\ 6 & 6 \end{pmatrix}. \]
\[ \mathbf{A}^2= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \] \[ \mathbf{AB}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \] \[ \mathbf{B}^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \] \[ \mathbf{A}^2+2\mathbf{AB}+\mathbf{B}^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 16 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}. \] Eli \[ (\mathbf{A}+\mathbf{B})^2\neq \mathbf{A}^2+2\mathbf{AB}+\mathbf{B}^2. \]
Остання зміна: четвер 21 вересня 2017 11:18 AM