Aalto MOOC Matriisilaskenta 2019

\[ \mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=\sum\limits_{j=1}^n v_jw_j \] eli summattavien termien määrä vain kasvaa vastaamaan \(n\):ää.

Esimerkki

\[ \mathbf{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \mathbf{w}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}; \quad \mathbf{v\cdot w}=1\cdot 2+3\cdot 4=14. \]

\[ \| \mathbf{v} \|=\sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}. \]

Esimerkki

\[ \mathbf{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}; \quad \|\mathbf{v}\|=\sqrt{\mathbf{v\cdot v}}=\sqrt{1\cdot 1+3\cdot 3}=\sqrt{10}, \] \[ \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}. \]

\[ \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}{\| \mathbf{v}\| \|\mathbf{w}\| }=\cos \theta \]

\begin{align*} (\mathbf{v}+\mathbf{w})\cdot (\mathbf{v}+\mathbf{w}) & = \mathbf{v}\cdot \mathbf{v}+ \mathbf{v}\cdot \mathbf{w}+ \mathbf{w}\cdot \mathbf{v}+ \mathbf{w}\cdot \mathbf{w} \\ & = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}+ 2\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}+ \mathbf{w}\cdot \mathbf{w} \\ & = \| \mathbf{v} \|^2+2\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}+ \| \mathbf{w} \|^2 \\ & \leq \| \mathbf{v} \|^2+2\|\mathbf{v} \| \|\mathbf{w} \|+ \|\mathbf{w} \|^2 \\ & = (\|\mathbf{v} \|+\| \mathbf{w} \|)^2. \end{align*}

Esimerkki

Jos \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) ovat vektoreita, joille \(\|\mathbf{v}\| = 5\) ja \(\|\mathbf{w}\| = 3\), niin laske

1. \(\|\mathbf{v} -\mathbf{w} \|\) suurin ja pienin arvo,
2. \(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}\) suurin ja pienin arvo.

Ratkaisu

Tarvittaessa arvioita vektorien normeille, ehdottomasti tehokkaimmat työkalut ovat kolmioepäyhtälö: \(\big| \|\mathbf{x}\|-\|\mathbf{y}\| \big|\leq \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|\leq \|\mathbf{x}\|+\|\mathbf{y}\|\), sekä Cauchy-Schwarzin epäyhtälö: \(|\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}|\leq \|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|\).

1. Aloitetaan arvioimalla lauseketta \(\|\mathbf{v}-\mathbf{w}\|\): \[ \big| \|\mathbf{v}\|-\|\mathbf{w}\| \big|\leq \|\mathbf{v} - \mathbf{w} \| = \|\mathbf{v} + (-\mathbf{w}) \| \leq \|\mathbf{v} \| + \|-\mathbf{w}\| = \|\mathbf{v} \| + \|\mathbf{w}\|. \]

Koska \(\|\mathbf{v}\| = 5 \) ja \(\|\mathbf{w}\| = 3\), saadaan nämä sijoittamalla ala- ja yläraja erotukselle:

\begin{align*} &\big| 5-3 \big|\leq \|\mathbf{v} - \mathbf{w} \| \leq 5 + 3 \\ &\Rightarrow 2 \leq \| \mathbf{v}-\mathbf{w}\| \leq 8. \end{align*}
2. Arvioidaan sisätuloa \(\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}\). Euklidisessa avaruudessa, kuten \(\mathbb{R}^n\), pistetulon määritelmä on \[ \mathbf{v}\cdot \mathbf{w} = \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{w}\| \cos \theta, \] missä \(\theta\) on vektorien väliin jäävä kulma. Koska \(-1\leq \cos \theta \leq 1\), saadaan \begin{align*} -\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{w}\| &\leq \mathbf{v}\cdot \mathbf{w} \leq \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{w}\| \\ -(5\cdot 3) & \leq \mathbf{v}\cdot \mathbf{w} \leq 5\cdot 3 \\ -15 & \leq \mathbf{v}\cdot \mathbf{w} \leq 15. \end{align*}

Esimerkki

Valitse mitkä tahansa kolme numeroa \(x,y,z\) siten, että \(x+y+z=0\). Mikä on vektorien \(\mathbf{v} = (x,y,z)\) ja \(\mathbf{w} = (z,x,y)\) välinen kulma? Näytä yleisesti, että näin valituilla \(\mathbf{v} , \mathbf{w}\) pätee

\[ \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} }{\|\mathbf{v} \| \|\mathbf{w} \|} = -\frac{1}{2}. \]

Ratkaisu

Yhtälö \(x+y+z=0\) määritteleee origon kautta kulkevan tason \(\mathbb{R}^3\):ssa. Vektorit \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) ja \(\mathbf{w} = \begin{pmatrix} z \\ x \\ y \end{pmatrix}\) määrittelevät tämän tason kaksi vektoria, vielä niin, että toisen saa toisesta sopivalla kierrolla.

1. Aluksi valitaan kolme lukua \(x,y,z\), jotka toteuttavat yhtälön \(x+y+z=0\). Valitaan \(x = 1, y=1,z=-2\), ja lasketaan vektorien \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) välinen kulma \(\theta\). Kulman kosini saadaan lauseesta \(\cos \theta = \displaystyle \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}{\Vert \mathbf{v} \Vert\Vert \mathbf{w} \Vert}\): \( \displaystyle \cos \theta = \frac{-2+1-2}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = -\frac{1}{2}\) ja \(\displaystyle \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}\).
2. Muutaman kokeilun jälkeen vaikuttaisi siltä että riippumatta valituista luvuista \(x,y,z\) vektorien \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) välinen kulma on aina sama. Voisiko tämän johtaa yleiseksi säännöksi?

   Aloitetaan kirjoittamlla lauseke \(\displaystyle \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}{\Vert \mathbf{v} \Vert\Vert \mathbf{w} \Vert}\) auki:

   \[ \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}{\Vert \mathbf{v} \Vert\Vert \mathbf{w} \Vert} = \frac{xz+yx+zy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}\sqrt{z^2+x^2+y^2}} = \frac{xz+yx+zy}{x^2+y^2+z^2} . \]

   Tämän jälkeen palataan tason yhtälöön \(x+y+z=0\) ja ratkaistaan \(z = -(x+y)\) ja sijoitetaan edelliseen:

   \[ \frac{x(-x-y)+yx+y(-x-y)}{x^2+y^2+(-x-y)^2} = \frac{-x^2-xy-y^2}{2x^2+2xy+2y^2} = -\frac{1}{2}. \]

\[ \left\{ \begin{array}{ll} 4x_1-2x_2 & = 2 \\ x_1+x_2 & = 5 \end{array} \right. \]

\[ \left\{ \begin{array}{ll} 4x_1-2x_2 & = 2 \\ 2x_1+2x_2 & = 10 \end{array} \right. \]

\[ \begin{array}{rl} 2x_1+2x_2+(4x_1-2x_2) &= 10 + 2 \\ 6x_1 &=12 \\ x_1& =2 \end{array} \]

\[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}. \]