Aalto MOOC Matriisilaskenta 2019

Määritelmä:

Neliömatriisi \( \underset{n\times n}{\mathbf{A}} \) on säännöllinen, jos on olemassa matriisi \( \mathbf{A^{-1}}\) s.e. \( \mathbf{A^{-1}A=I} \). Merkintä \( \mathbf{A^{-1}}\) tarkoittaa \( \mathbf{A}\):n käänteismatriisia.

Vertaa reaalilukujen käänteisalkio: \(a^{-1}a = 1, \quad \forall a \in \mathbb{R}\setminus \{0\}\).

Havaintoja:

1. \( \mathbf{A^{-1}}\) on olemassa, jos ja vain jos Gaussin eliminaatiossa löytyy \( n\) tukialkiota eli yhtälöryhmällä \(\mathbf{Ax=b}\) on yksikäsitteinen ratkaisu.
2. Jos \( \mathbf{A}\) on säännöllinen, yhtälöryhmän \( \mathbf{Ax=b}\) ratkaisu on yksikäsitteinen \(\mathbf{x}=\mathbf{A^{-1}b} \).
3. Myös \(\mathbf{A^{-1}}\) on yksikäsitteinen, jos se on olemassa.
4. Jos on olemassa \( \mathbf{x}\neq 0\) s.e. \( \mathbf{Ax}=0\), niin \( \mathbf{A}\) ei ole säännöllinen eikä sillä ole siis käänteismatriisia. Tällaista matriisia \( \mathbf{A}\), jolla sarakevektorit riippuvat lineaarisesti toisistaan, kutsutaan singulaariseksi.

5. 2×2 matriiseille käänteismatriisi voidaan laskea kaavalla:

   \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]
   Huomaa! \( ad-bc\neq 0 \).
6. Lävistäjä- eli diagonaalimatriisin käänteismatriisi on olemassa, jos lävistäjäalkiot ovat nollasta poikkeavia.
   \[ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} d_1 & & & 0 \\ & d_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & d_n \end{pmatrix}=\text{diag}(d_1, \ldots, d_n) \] \[ \mathbf{A}^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{1}{d_1} & & & 0 \\ & \frac{1}{d_2} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \frac{1}{d_n} \end{pmatrix}. \]

Tulon käänteismatriisi