Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2022 (Aalto MOOC)

Taylorin kaava

Yhden muuttujan tapauksessa \(m+1\) kertaa jatkuvasti derivoituvaa funktiota \(f\colon I \to \mathbb{R}\) voidaan approksimoida kaavalla \[ f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+ \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+ \ldots + \frac{f^{(m)}(a)}{m!}(x-a)^m. \] kun \(a,x\in I\).

Tämä idea yleistyy usean muuttujan tapaukseen: Jos \(\mathbf{a}, \mathbf{h} \in \mathbb{R}^n\), \(n\ge 2\) ja funktiolla \(f\colon D\subset \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) on jatkuvat kertaluvun \((m+1)\) osittaisderivaatat pisteitä \(\mathbf{a},\mathbf{a}+\mathbf{h}\) yhdistävällä janalla, niin \[ f(\mathbf{a}+\mathbf{h}) \approx \sum_{j=0}^m\frac{(\mathbf{h} \cdot \nabla)^jf(\mathbf{a})}{j!}. \]

Perustelu. Yksinkertaisuuden vuoksi johdetaan tässä kaava tapauksessa \(n=2\) riittävän sileille funktioille. Olkoon \(D\subset\mathbb{R}^{2}\) avoin ja funktio \(f\colon D\to\mathbb{R}\) äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva. Lisäksi oletetaan, että \(\mathbf{a}+t\mathbf{h}\subset D\), kun \(0\le t\le 1\). Tällöin oleellisesti myös apufunktion \[F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},F(t)=f(\mathbf{a}+t\mathbf{h})\] kaikki derivaatat ovat jatkuvia suljetulla välillä \(\left[0,1\right]\).

Ketjusäännön nojalla saadaan apufunktiota derivoimalla \[F'(t) = h_{1}f_{x}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) + h_{2}f_{y}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) = (\mathbf{h}\cdot\nabla)f(\mathbf{a}+t\mathbf{h})\] \[F''(t) = h_{1}h_{2}f_{xx}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) + h_{1}h_{2}f_{xy}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) + h_{2}h_{1}f_{xy}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) + h_{2}h_{2}f_{yy}(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) = (\mathbf{h}\cdot\nabla)^{2}f(\mathbf{a}+t\mathbf{h})\] \[\vdots\] \[F^{(j)}(t) = (\mathbf{h}\cdot\nabla)^{j}f(\mathbf{a}+t\mathbf{h}).\] Tästä havaitaan, että \(F^{(j)}(0) = (\mathbf{h}\cdot\nabla)^{j}f(\mathbf{a})\) ja siten yhden muuttujan funktion \(F\) Taylorin sarjakehitelmä on muotoa \[F(t) = F(0) + F'(0)t + \frac{1}{2}F''(0)t^{2}+\dots = \sum_{j=0}^{\infty}\frac{F^{(j)}(0)}{j!}t^{j}.\] Asettamalla tässä \(t=1\) saadaan haluttu tulos, \[f(\mathbf{a}+t\mathbf{h}) = f(\mathbf{a})+\mathbf{h}\cdot\nabla f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2}(\mathbf{h}\cdot\nabla)^{2}f(\mathbf{a})+\dots\] \[=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(\mathbf{h}\cdot\nabla)^{j}}{j!}f(\mathbf{a}).\]

Esimerkki

Olkoon \((a,b)\in \mathbb{R}^2\) ja \(f(x,y)\) neljä kertaa jatkuvasti derivoituva kiekossa \((a,b)\)-keskisessä \(r\)-säteisessä kiekossa. Etsitään 3. asteen approksimaatio. Jos \(\mathbf{h} =(h,k)\), niin \begin{align*} f(a+h,b+k)&\approx f(a,b) + (hD_1+kD_2)f(a,b) +\frac{1}{2!}(hD_1+kD_2)^2f(a,b) \\ &\quad +\frac{1}{3!}(hD_1+kD_2)^3f(a,b) \\ &= f(a,b) + hf_{x}(a,b)+kf_{y}(a,b) \\ &\quad+ \frac{1}{2!}\Big(h^2f_{xx}(a,b)+2hkf_{xy}(a,b)+k^2f_{yy}(a,b)\Big) \\ &\quad+\frac{1}{3!}\Big(h^3f_{xxx}(a,b)+ 3h^2kf_{xxy}(a,b)+3hk^2f_{xyy}(a,b)+k^3f_{yyy}(a,b)\Big). \end{align*}

Huom. 1. asteen Taylor-approksimaatio on sama kuin tangenttitaso.

Esimerkki

Etsitään 2. asteen Taylor-approksimaatio funktiolle \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^3}\) pisteen \((1,2)\) ympäristössä.

Lasketaan \(f(1,2)=3\), \[ f_{x}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^3}},\quad f_{y}(x,y)=\frac{3y^2}{2\sqrt{x^2+y^3}}, \] eli \(f_{x}(1,2)=1/3\) ja \(f_{y}(1,2)=2\). Edelleen \[ f_{xx}(x,y)=\frac{y^3}{(x^2+y^3)^{3/2}} \quad\Rightarrow\quad f_{xx}(1,2)= \frac{8}{27}, \] \[ f_{xy}(x,y)=\frac{-3xy^2}{2(x^2+y^3)^{3/2}} \quad\Rightarrow\quad f_{xy}(1,2)= -\frac{2}{9}, \] \[ f_{yy}(x,y)=\frac{12x^2y+3y^4}{4(x^2+y^3)^{3/2}} \quad\Rightarrow\quad f_{yy}(1,2)= \frac{2}{3}. \] Siten \begin{align*} f(1+h,2+k) &\approx 3 + \frac{1}{3}h + 2k + \frac{1}{2!}\Big(\frac{8}{27}h^2+2\Big(-\frac{2}{9}\Big)hk+\frac{2}{3}k^2\Big) \\ &= \frac{4}{27}h^2-\frac{2}{9}hk+\frac{1}{3}k^2+\frac{1}{3}h + 2k + 3. \end{align*}