Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2022 (Aalto MOOC)

Moninkertaisten integraalien sovelluksia

Tähän mennessä moninkertaisten integraalien sovelluksina on esiintynyt:

• Alueen \(D \subset \mathbb{R}^2\) pinta-ala \[ \textrm{A}(D) = \iint_D 1\,dA \]

• Kappaleen \(D \subset \mathbb{R}^3\) tilavuus \[ \textrm{V}(D) = \iiint_D 1\,dV \]

Mekaniikassa tulevat lisäksi vastaan nämä:

• Kappaleen massa \[ m(D) = \iiint_D \rho(x,y,z)\,dV \] ja hitausmomentti kappaleen pyöriessä \(z\)-akselin ympäri: \[ I_z(D) = \iiint_D\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV. \] Tässä \(\rho(x,y,z)\) on materiaalin tiheys pisteessä \((x,y,z)\).

• Kaksiulotteisen tasolevyn keskiön (painopiste) \((\bar x,\bar y)\) laskeminen \[ \bar x = \frac{1}{A(D)} \iint_D x\,dA, \qquad \bar y = \frac{1}{A(D)} \iint_D y\,dA, \] jossa pinta-ala \(A(D)\) on laskettu tasointegraalilla jo aiemmin.

  Jos levyn massa ei ole tasaisesti jakautunut, integraalia korjataan paikasta riippuvalla tiheydellä \(\rho(x,y)\) \[ \bar x = \frac{1}{m(D)} \iint_D x \rho(x,y) \,dA, \qquad \bar y = \frac{1}{m(D)} \iint_D y \rho(x,y) \,dA. \] jossa massa \(m(D) = \iint_D \rho(x,y) \,dA \) lasketaan tasointegraalilla.

Massakeskipiste

Kolmiulotteisen kappaleen \(D\) massakeskipiste \((\bar x,\bar y, \bar z)\) \[ \bar x = \frac{1}{m(D)} \iiint_D x \rho(x,y,z)\,dV, \] \[ \bar y = \frac{1}{m(D)} \iiint_D y \rho(x,y,z)\,dV, \] \[ \bar z = \frac{1}{m(D)} \iiint_D z \rho(x,y,z)\,dV, \] missä \(\rho = \rho(x,y,z)\) on kappaleen tiheys pisteessä \((x,y,z)\) ja \(m(D)\) on kappaleen massa (tilavuusintegraalilla). Kaava voidaan kirjoittaa myös vektorimuodossa \[ \bar x\mathbf{i} + \bar y \mathbf{j} + \bar z\mathbf{k} = \frac{\iiint_D \mathbf{r} \rho\, dV}{\iiint_D\rho \,dV}, \] missä \(\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\).

Esimerkki

Lasketaan epäyhtälöiden \(0\le x\le 1\), \(0\le y\le 1\) ja \(0\le z\le 1\) määräämän yksikkökuution \(D\) massakeskipiste, kun tiheys \(\rho(x,y,z)= z\).

Lasketaan ensin massa \[ \iiint_D \rho \,dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 z \,dx\,dy\,dz \] \[ = \int_0^1 z\,dz = \bigg|_{z=0}^1\frac{1}{2}z^2 = \frac{1}{2}. \] Saadaan \[ \bar x = \frac{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xz \,dx\,dy\,dz}{1/2} = \frac{\Big(\Big|_{x=0}^1 \frac{1}{2}x^2\Big)\Big(\Big|_{z=0}^1 \frac{1}{2}z^2\Big)}{1/2} \] \[ = \frac{(1/2)^2}{1/2} = \frac{1}{2}. \]

Vastaavasti \[ \bar y = \frac{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 yz \,dx\,dy\,dz}{1/2} = \frac{(1/2)^2}{1/2} = \frac{1}{2}. \] Edelleen voidaan laskea \[ \bar z = \frac{\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 z^2 \,dx\,dy\,dz}{1/2} = \frac{\Big|_{z=0}^1 \frac{1}{3}z^3}{1/2} \] \[ = \frac{(1/3)}{(1/2)} = \frac{2}{3}. \] Massakeskipisteeksi saadaan \[ (\bar x, \bar y,\bar z) = (1/2,1/2,2/3). \]

Hitausmomentti

Tarkastellaan tilannetta, jossa pistemäiset kappaleet kiertävät origoa \(xy\)-tasossa ympyrän muotoista rataa pitkin samalla kulmanopeudella.

Kappaleiden yhteenlaskettu liike-energia saadaan laskemalla summa \[ E= \sum_{i=1}^N \frac{1}{2} m_iv_i^2= \frac{1}{2} \Big[\sum_{i=1}^N m_i r_i^2\Big]\omega^2= \frac{1}{2}\Big[\sum_{i=1}^N m_i(x_i^2+y_i^2)\Big]\omega^2, \] missä \(\omega\) on kulmanopeus ja \(m_i\), \(x_i\) sekä \(y_i\) ovat \(i\):nnen kappaleen massa ja paikka. Summaa \[ \sum_{i=1}^N m_i(x_i^2+y_i^2) = \sum_{i=1}^N m_i r_i^2 \] kutsutaan hitausmomentiksi. Ajattelemalla \(z\)-akselin ympäri pyörivä kappale joukoksi "infinitesimaalisen pieniä" pisteitä, voidaan edelläolevasta summasta päätellä kappaleen liike-energia: \[ E=\frac{1}{2} \bigg[ \iiint_D (x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,dV\bigg]\omega^2 =\frac{1}{2} I_z\omega^2, \] missä \[ I_z = \iiint_D(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,dV = \iiint_D r_z^2 dm \] on kappaleen hitausmomentti \(z\)-akselin suhteen (\(r_z^2 = x^2 + y^2\) ja massa-alkio \(dm = \rho(x,y,z)\,dV\)).

Esimerkki

Lasketaan sylinterin \[ D= \{(x,y,z): x^2+y^2\le a^2\textrm{ ja }0\le z\le 1\},\qquad a>0 \] hitausmomentti \(z\)-akselin suhteen, kun tiheys on vakio \(\rho=\rho_0\).

Lasketaan \[ I_z = \iiint_D (x^2+y^2)\rho_0\,dV \] \[ = \rho_0 \int_0^1 \int_0^{2\pi}\int_0^a r^2r \,dr\,d\theta\,dz \] \[ = 2\pi\rho_0\int_0^ar^3\,dr = \frac{1}{2}\pi\rho_0a^4. \] Toisaalta sylinterin massa on \[ m=\iiint_D \rho_0\,dV = \rho_0\textrm{V}(D)=\rho_0\pi a^2. \] Siten hitausmomentti voidaan kirjoittaa \[ I_z = \frac{1}{2}(\pi \rho_0a^2)a^2 = \frac{1}{2}ma^2. \]