Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2022 (Aalto MOOC)

Parametrisointi

Muodollisesti käyrällä tarkoitetaan parametrisoitua joukkoa \(C\subset \mathbb{R}^n, n \geq 2\), joka voidaan esittää muodossa \[C=\lbrace \mathbf{r}(t) : t\in I\rbrace = \mathbf{r}(I) = \mathbf{r}\text{:n arvojoukko},\] missä \(I\subset\mathbb{R}\) on väli ja funktio \(\mathbf{r}\colon I\rightarrow\mathbb{R}^n\) on jatkuva. Vektoriarvoisen funktion \(\mathbf{r}\) jatkuvuus tarkoittaa, että sen kaikki koordinaattifunktiot ovat jatkuvia missä tahansa kantaesityksessä.

Funktio \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)\) on eräs käyrän \(C\) parametrisointi ja \(I\) on tätä parametrisointia vastaava parametriväli. Väli \(I\) voi olla avoin \((a,b)\), suljettu \([a,b]\) tai puoliavoin \((a,b],\,[a,b)\).

Avaruuskäyrän (\(n=3\)) parametrisointi voidaan antaa muodossa \[\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) \in \mathbb{R}^3, \text{ kun } t\in I.\] Vaihtoehtoisesti voidaan myös käyttää koordinaattimuotoa \[\mathbf{r}(t)=\begin{cases}x=x(t),\\y=y(t),\qquad t\in I\\z=z(t),\end{cases}\] tai vektorimuotoa \[\mathbf{r}(t) =x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k},\] jossa \(\mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j} = (0,1,0),\) ja \(\mathbf{k}=(0,0,1)\) ovat \(\mathbb{R}^3\):n luonnolliset kantavektorit.

Edellä funktion \(\mathbf{r}\) jatkuvuus tarkoittaa siis koordinaattifunktioiden \(x,y,z\) jatkuvuutta parametrivälillä \(I\).

Huomautus. Samalla käyrällä on useita eri parametrisointeja. Miksi? Kuinka pääset yhdestä parametrisoinnista toiseen?

Esimerkki, suora tasossa

Kahden \(xy\)-tason pisteen \(P_0=(x_0,y_0)\) ja \(P_1=(x_1,y_1)\) kautta kulkeva suora voidaan parametrsioida \[\mathbf{r}(t) = \begin{cases} x(t)=(1-t)x_0+tx_1 \\ y(t)=(1-t)y_0+ty_1, \end{cases} \text{ kun } t\in I=(-\infty,\infty).\] Havaitaan, että \[\mathbf{r}(t=0)=(x_0,y_0)\quad \text{ ja }\quad \mathbf{r}(t=1)=(x_1,y_1),\] joten valitsemalla parametriväliksi \(I=[0,1]\) saadaan pisteitä \(P_0\) ja \(P_1\) yhdistävä jana.

Esimerkki, reaalifunktion kuvaaja

Jatkuvan funktion \(f\colon[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) kuvaaja \(y=f(x)\) voidaan ajatella \(xy\)-tason käyränä. Tämä käyrä voidaan parametrisoida \[\mathbf{r}(t) =\begin{cases} x(t)=t \\ y(t)=f(t), \end{cases}\] missä \(t\in[a,b]\). Tai vastaavasti vektorimuodossa \[\mathbf{r}(t) =x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}= t\mathbf{i}+f(t)\mathbf{j}.\]

Esimerkki, Helix-käyrä eli kierrejousi

Helix-käyrä eli kierrejousi voidaan parametrisoida \[\mathbf{r}(t)=\begin{cases} x(t)=a\cos t, \\ y(t)=a\sin t, \qquad t\in I \\ z(t)=bt, \end{cases}\] missä \(a,b > 0\) ovat parametreja. Parametri \(a\) on jousen säde ja parametria \(b\) voidaan ajatella jousen venymänä.

Vaihtoehtoisesti voidaan tietysti tässäkin käyttää myös vektorimuotoa \[\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k} =a\cos t\mathbf{i}+a\sin t\mathbf{j}+bt\mathbf{k}.\]

Suunnistus

Usein parametriväli on suljettu väli \(I=[a,b]\). On lisäksi mahdollista, että \(a < b\) tai \( b < a\).

Parametrisointi määrää käyrälle positiivisen suunnan, jolloin \(\mathbf{r}(a)\) on käyrän alkupiste ja \(\mathbf{r}(b)\) sen päätepiste. Käyrää, jonka alku- ja päätepiste ovat samoja kutsutaan suljetuksi.

Voidaan muodostaa myös vastakkainen parametrisointi, jossa käyrä pysyy samana, mutta sen kulkusuunta vaihtuu. Tällöin myös parametrisointiin liittyvät alku- ja päätepiste vaihtuvat toisikseen.

Esimerkiksi tapauksessa \(\mathbf{r}\colon[0,1]\rightarrow C\) vastakkainen parametrisointi \(\mathbf{r}_{-}\) saadaan helposti kaavalla \[\mathbf{r}_{-}(t)=\mathbf{r}(1-t), \quad t\in [0,1].\]

Esimerkki, ympyrän kehä tasossa

Olkoon \(P_0=(x_0,y_0)\) ja \(r_0>0\). \(P_0\)-keskisen ja \(r_0\)-säteisen ympyrän kehän parametrisoinniksi saadaan \[\mathbf{r}(t) =\begin{cases}x(t)=x_0+r_0\cos t,\\ y(t) = y_0+r_0\sin t.\end{cases}\] Jos halutaan parametrisoida koko kehä, voidaan parametrisointiväliksi valita esimerkiksi \([0,2\pi]\) tai \([-\pi,\pi]\). Lisäksi havaitaan, että \[\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}(2\pi)=(x_0+r_0,0)\] ja \[\mathbf{r}(-\pi)=\mathbf{r}(\pi)=(x_0-r_0,0),\] joten käyrä on suljettu.

Suunnistus voidaan vaihtaa päinvastaiseksi korvaamalla \(t\mapsto -t\) parametrisoinnissa. Tällöin \(\cos(-t)=\cos t\), \(\sin(-t)=-\sin t\) ja \[\mathbf{r}_{-}(t)=\begin{cases}x(t)=x_0+r_0\cos t,\\ y(t)=y_0-r_0\sin t.\end{cases}\]

Implisiittinen muoto

Tasokäyrän yhtälö voidaan usein ilmaista myös implisiittisessä muodossa \(F(x,y)=0\), missä \(F\) on jokin kahden muuttujan lauseke. Konkreettisia esimerkkejä ovat funktion kuvaaja \(y=f(x)\), joka voidaan määritellä muodossa \(F(x,y)=y-f(x)=0\), ja \(R\)-säteinen ympyrä \(F(x,y)=x^2+y^2-R^2=0\).

Huomautus. Yhtälön \(F(x,y)=0\) määräämä tasojoukko ei ole läheskään aina tasokäyrä. Esimerkiksi, jos \(A\subset\mathbb{R}^2\) on mikä tahansa suljettu tasojoukko (reunapisteet kuuluvat joukkoon), niin funktio \[F(x,y)=\text{ pisteen } (x,y) \text{ pienin etäisyys joukosta } A\] \[=\min\big\{\sqrt{(x-x_0)^{2}+(y-y_{0})^2} : (x_{0},y_{0})\in A\big\}\] on jatkuva, mutta yhtälö \(F(x,y)=0\) esittää koko alkuperäistä joukkoa \(A\).

Käyrän tangentti

Tarkastellaan 3-ulotteista parametrisointia \(\mathbf{r}\), joka on jatkuvasti derivoituva. Tämä tarkoittaa, että vektorin \(\mathbf{r}\) jokaisen koordinaattifunktion täytyy olla derivoituva ja derivaatan lisäksi jatkuva.

Parametriväliä \([t,t+\Delta t]\) vastaava käyrän sekantti on vektori \[\Delta\mathbf{r}=\mathbf{r}(t+\Delta t) - \mathbf{r}(t).\] Kun \(\Delta t \rightarrow 0\), niin \(\Delta\mathbf{r}\) kääntyy yhä enemmän käyrän tangentin suuntaiseksi, mutta samalla sen pituus kutistuu kohti nollaa. Skaalamalla kertoimella \(\Delta t\) saadaan kuitenkin erotusosamäärää vastaava lauseke, josta nähdään, että raja-arvo \[\mathbf{r}'(t) = \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}\] on olemassa ja se voidaan käytännössä laskea kaavalla \[\mathbf{r}'(t) = x'(t)\mathbf{i}+y'(t)\mathbf{j}+z'(t)\mathbf{k}.\] Vektorin \(\Delta\mathbf{r}/\Delta t\) ensimmäinen koordinaatti on nimittäin \[\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} \longrightarrow x'(t), \text{ kun }\Delta t \rightarrow 0,\] ja samoin käy myös muissa koordinaateissa. Tästä seuraa määritelmä.

Määritelmä. Jos käyrällä \(C\subset\mathbb{R}^3\) on jatkuvasti derivoituva parametrisointi \(\mathbf{r}\), niin pisteessä \(\mathbf{r}(t)\), \[ \mathbf{r}'(t)=x'(t)\mathbf{i}+y'(t)\mathbf{j}+z'(t)\mathbf{k} \] on käyrän tangenttivektori ja funktiot \(x,y,z\) ovat parametrisoinnin koordinaattifunktiot. Tason tapauksessa \(z\)-koordinaatti jää pois. Voidaan ajatella, että \(\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)\) on käyrää \(C\) pitkin liikkuvan kappaleen nopeus ja \(\|\mathbf{v}(t)\|\) kappaleen vauhti hetkellä \(t\).

Huomautus. Tangenttivektorin määritelmästä saadaan lisäksi hyödyllinen approksimaatio: \[\mathbf{r}'(t)\approx \Delta\mathbf{r}/\Delta t \Leftrightarrow \Delta\mathbf{r}\approx \mathbf{r}'(t)\Delta t, \text{ kun } \Delta t\approx 0.\]

Esimerkki

Sykloidi voidaan parametrisoida kulman \(t\) avulla muodossa \[ \mathbf{r}(t)=\begin{cases}x(t)=a(t-\sin t)\\ y(t)=a(1-\cos t).\end{cases} \] Tangenttivektoriksi saadaan tällöin \[ \mathbf{r}'(t) = a(1-\cos t)\mathbf{i}+a\sin t\mathbf{j}, \] ja edelleen voidaan ratkaista kiihtyvyys \[ \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=a\sin t\mathbf{i} + a\cos t\mathbf{j}. \] Tästä seuraa \(\|\mathbf{a}(t)\| = \lvert a\rvert =\) tasaisen pyörimisliikkeen kiihtyvyys.

Tarkastele

Huomautus. \(\mathbf{r}'(2\pi n)=\overline{0}\), eli hetkellinen nopeus on nolla. Tällöin käyrän suunta voi muuttua jyrkästi, vaikka sen parametrisointi onkin jatkuvasti derivoituva.

Kaarenpituus

Olkoon \(\mathbf{r}\colon[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^n\) käyrän \(C\) jatkuvasti derivoituva parametrisointi. Jos käyrää approksimoidaan sekanteista muodostetulla murtoviivalla ja annetaan approksimaation tihentyä, voidaan havaita murtoviivan pituuden suppenevan kohti kaaren pituutta \(\ell(C)\).

Kaarenpituus voidaankin määrittää integraalina \[\ell(C)=\int_a^b \|\mathbf{r}'(t)\|\,dt,\] missä merkintä \(\|\cdot\|\) tarkoittaa vektorin (euklidista) normia, eli vektorin pituutta, avaruudessa \(\mathbb{R}^n\).

Perustelu

Jos käyrän parametrisointi on ainoastaan paloittain jatkuvasti derivoituva, saadaan koko käyrän kaarenpituus laskemalla osien kaarenpituudet yhteen.

Vaikka käyrällä onkin aina äärettömän monta eri parametrisointia, voidaan osoittaa, ettei kaarenpituus riipu parametrisoinnin valinnasta eikä suunnasta.

Esimerkki

Määritetään Helix-käyrän \(\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t)\) kaarenpituus parametrivälillä \(t\in[0,2\pi]\). Tangenttivektoriksi saadaan

\[\mathbf{r}'(t)= \mathbf{i}(-\sin t) + \mathbf{j}\cos t + \mathbf{k},\] joten \[\|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{((-\sin t)^2+\cos^2t+1)}=\sqrt{2}.\] Ja siten kaarenpituus on \[\ell = \int_0^{2\pi} \|\mathbf{r}'(t)\|dt = 2\sqrt{2}\pi.\]

Esimerkki

Johdetaan kaava funktion kuvaajan \( y=f(x) \) kaarenpituudelle välillä \([a,b]\). Asetetaan \(\mathbf{r}(t)=(t, f(t))\), kun \(t\in[a,b]\). Tällöin \[\mathbf{r}'(t)=(1,f'(t))\quad\text{ ja }\quad \|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{1+f'(t)^2},\] joten kaarenpituudeksi saadaan \[\ell = \int_a^b \sqrt{1+f'(t)^2}\,dt.\]

Huomautus. Kaarenpituutta voidaan tutkia myös sellaisille käyrille, joiden parametrisointi on muodostettu rajoittamattomalla välillä tai käyrä on "rajoittamaton" tai "itsensä päälle laskostuva" avoimen parametrivälinsä päätepisteen läheisyydessä. Kaarenpituusintegraalista tulee tällöin epäoleellinen. Jos tämä integraali on suppeneva, niin käyrää kutsutaan suoristuvaksi.

Esimerkki

Olkoot käyrällä parametrisointi \(\mathbf{r}(t)=(e^{-t},e^{-t})\), kun \(t\in[0,\infty[\). Lasketaan tälle kaarenpituus.

Tangenttivektorin \(\mathbf{r}'(t)=(-e^{-t},-e^{-t})\) pituus on \(\|\mathbf{r}'(t)\|=e^{-t}\sqrt{2}\), joten kaarenpituudeksi saadaan nyt

\[\ell = \int_{0}^{\infty}\|\mathbf{r}(t)\|\,dt = \int_{0}^{\infty}e^{-t}\sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}.\]