Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2022 (Aalto MOOC)

Osittaisderivaatta

Olkoon \(D\subset \mathbb{R}^n\), \(n \geq 2\) ja \(f\colon D\to \mathbb{R}\) funktio. Tällöin kaikille \(j=1,\ldots,n\) funktion \(f\) osittaisderivaatta muuttujan \(x_j\) suhteen on \[ \frac{\partial}{\partial x_{j}}f(\mathbf{x}) = \lim_{h\to0}\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{e}_j) -f(\mathbf{x})}{h}, \] jos kyseinen raja-arvo on määritelty. Tässä \(\mathbf{e}_j\) on \(j\):s yksikkökantavektori.

Käytännössä osittaisderivointi jonkin muuttujan suhteen tapahtuu samaan tapaan kuin yhden muuttujan tapauksessa, muistetaan vain pitää muita muuttujia ikään kuin ne olisivat vakioita.

Esimerkki

Olkoon funktio \(f\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, f(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2}\). Tällöin \[\frac{\partial}{\partial x_{2}}f(x_{1},x_{2}) = \lim_{h\to0}\frac{f(x_{1},x_{2}+h)-f(x_{1},x_{2})}{h} = \lim_{h\to0}\frac{x_{1}(x_{2}+h)-x_{1}x_{2}}{h} = x_{1}.\]

Huom. Erityisesti, kun \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}\) ja \(n=2\) tai \(n=3\), käytetään osittaisderivaatoille yleensä indeksimerkintöjä \[\frac{\partial}{\partial x_{1}}f(\mathbf{x}) = f_{x}(\mathbf{x}),\quad\frac{\partial}{\partial x_{2}}f(\mathbf{x}) = f_{y}(\mathbf{x}) \quad\text{ja}\quad \frac{\partial}{\partial x_{3}}f(\mathbf{x}) = f_{z}(\mathbf{x})\]

Esimerkki

Olkoon funktio \(f\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\), \(f(x,y)=x^2\sin y.\) Sen osittaisderivaatat ovat \[ f_{x}(x,y) = 2x\sin y \quad \text{ ja }\quad f_{y}(x,y) = x^2 \cos y. \]

Merkintätavat osittaisderivaatoille

Funktion \(f\colon D\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) osittaisderivaattaa muuttujan \(x_j\) suhteen merkitään mm. seuraavilla tavoilla \[ \frac{\partial}{\partial x_j} f(x_1,\ldots,x_n) = \frac{\partial f}{\partial x_j} = D_jf(x_1,\ldots,x_n) = \partial_{j}f(x_{1},\ldots,x_{n}).\]

Tapauksessa \(n=2\) usein kirjoitetaan \(z=f(x,y)\), jolloin voidaan myös käyttää merkintöjä \[ f_{x}(x,y)=\frac{\partial z}{\partial x} \quad \text{ ja }\quad f_{y}(x,y)=\frac{\partial z}{\partial y}. \]

Osittaisderivaatalle käytetään erillistä symbolia \(\partial\) ("doh"), jotta se ei sekoittuisi tavalliseen (kokonais)derivaattaan. Palataan tähän vähän myöhemmin ketjusäännön yhteydessä.

Osittaisderivaatan arvo

Funktion \(f\colon D\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) osittaisderivaatan \(f_j\) arvoa pisteessä \(\mathbf{x}_0\in D\) merkitään \[ \bigg(\frac{\partial f}{\partial x_j}\bigg)\bigg|_{\mathbf{x}_0} = \frac{\partial z}{\partial x_j}\bigg|_{\mathbf{x}_0} = D_jf(\mathbf{x}_{0}) = \partial_{j}f(\mathbf{x}_{0}), \] jossa muuttuja \(z\) määritellään \(z = f(x_1, x_2, \ldots , x_n)\).

Esimerkiksi, jos \(f(u,v)=u^2v\) ja \(\mathbf{w} = x^2\mathbf{i} + xy\mathbf{j}\), niin \begin{align} f_{u}(\mathbf{w})&=f_{u}(x^2,xy) =\left.\bigg(\frac{\partial}{\partial u}f(u,v)\bigg)\right|_{(x^2,xy)} \\ &=2uv\Big|_{u=x^2,\,v=xy}= 2(x^2)(xy)=2x^3y. \end{align}

Esimerkki

Lasketaan \[ \frac{\partial z}{\partial x}\quad \text{ ja }\quad \frac{\partial z}{\partial y}, \] kun \(z=x^3y^2+x^4y + y^4\). Tällöin saadaan \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2y^2+4x^3y \quad \text{ ja }\quad \frac{\partial z}{\partial y} = 2x^3y+x^4+4y^3. \]

Esimerkki

Etsitään \(f_{x}(0,\pi)\), kun \(f(x,y)=e^{xy}\cos(x+y)\). Tästä saadaan \[ f_{x}(x,y)=ye^{xy}\cos(x+y)-e^{xy}\sin(x+y). \] Siten \[ f_{x}(0,\pi) = \pi e^0\cos(\pi)-e^0\sin(\pi) = -\pi. \]

Ketjusäännön soveltaminen

Tavallisiin derivaattoihin liittyvä ketjusääntö \[ (f\circ g)'(x)= f'\big(g(x)\big)g'(x) \] on voimassa myös osittaisderivaattojen tapauksessa. Jos esimerkiksi \( f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ja \(g\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\) niin \[ \frac{\partial }{\partial x}f\big(g(x,y)\big) = f'\big(g(x,y)\big)g_{x}(x,y) \] ja \[ \frac{\partial }{\partial y}f\big(g(x,y)\big) = f'\big(g(x,y)\big)g_{y}(x,y). \] Myöhemmin esitetään myös ketjusääntö monen muuttujan funktioille.

Esimerkki

Osoitetaan, että derivoituva funktio \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) toteuttaa seuraavan osittaisdifferentiaaliyhtälön, kun \(z=f(x/y)\): \[ x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y}=0 \] Ketjusäännön perusteella \[ \frac{\partial z}{\partial x} =f'\bigg(\frac{x}{y}\bigg)\bigg(\frac{1}{y}\bigg) \text{ ja } \frac{\partial z}{\partial y} =f'\bigg(\frac{x}{y}\bigg)\bigg(\frac{-x}{y^2}\bigg). \] Siten \[ x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y} = f'\bigg(\frac{x}{y}\bigg)\bigg(x\cdot \frac{1}{y}+y\cdot\frac{-x}{y^2}\bigg)=0. \]

Korkeammat osittaisderivaatat

Funktiolle \(f\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) voidaan määritellä myös korkeampia osittaisderivaattoja. Jos \(z=f(x,y)\), niin saadaan esimerkiksi \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial z}{\partial x} =f_{xx}(x,y) \] ja \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y} =f_{yx}(x,y). \] Vastaavasti, jos \(w=f(x,y,z)\), saadaan vaikkapa \[ \frac{\partial^5 w}{\partial y\partial x\partial y^2\partial z} = \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial w}{\partial z} = f_{zyyxy}(x,y,z). \]

Esimerkki

Etsitään funktion \(f(x,y)=x^3y^4\) toiset osittaisderivaatat. Saadaan aluksi \[ f_{x}(x,y)=3x^2y^4\quad\text{ ja }\quad f_{y}(x,y)=4x^3y^3. \] Siten \begin{align*} f_{xx}(x,y)&=\frac{\partial }{\partial x}3x^2y^4=6xy^4, \\ f_{yx}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial x}4x^3y^3=12x^2y^3, \\ f_{xy}(x,y)&=\frac{\partial}{\partial y}3x^2y^4=12x^2y^3, \\ f_{yy}(x,y)&=\frac{\partial }{\partial y}4x^3y^3=12x^3y^2. \end{align*}

Huom. Edellisestä voidaan havaita, että \(f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)\). Tämä ei ole sattumaa!

Jos funktio \(f\) sekä sen osittaisderivaatat \(f_{x},f_{y},f_{xy}\) ja \(f_{yx}\) ovat kaikki jatkuvia, niin \[\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}.\] Toisin sanoen derivoimisjärjestyksellä ei ole tällöin väliä. Vastaava tulos pätee myös yleisesti kaikilla \(n\ge2\).