Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2022 (Aalto MOOC)

Pinnan tangentti ja normaali

Yhden muuttujan tapauksessa derivaatan avulla voidaan löytää lauseke derivoituvan funktion tangentille annetussa pisteessä. Normaali on kohtisuorassa tangenttia vastaan. Pinnalle \(z=f(x,y)\) saadaan puolestaan kaksi tangenttivektoria pisteessä \((a,b)\) käyrien \(t\mapsto(t,b,f(t,b))\) ja \(t\mapsto(a,t,f(a,t))\) tangentteina: \[ \mathbf{T}_1 = \mathbf{i} + f_{x}(a,b)\mathbf{k} \quad\text{ ja }\quad \mathbf{T}_2 = \mathbf{j} + f_{y}(a,b)\mathbf{k}. \]

Pinnan (ylä)normaalivektori \(\mathbf{N} = \mathbf{N}(a,b)\) on kohtisuorassa näitä molempia tangenttivektoreita vastaan. Siksi se saadaan ristitulona \begin{align*} \mathbf{N} &= \mathbf{T}_1\times \mathbf{T}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & f_{x}(a,b) \\ 0 & 1 & f_{y}(a,b) \end{vmatrix} =-f_{x}(a,b)\mathbf{i} - f_{y}(a,b)\mathbf{j} + \mathbf{k}. \end{align*} Mikä on yksikkönormaali \(\mathbf{n}\)?

Tangenttitaso

Olkoon \(D\subset \mathbb{R}^2\), \(f\colon D\to \mathbb{R}\) ja \((a,b)\in D\). Pinnan \(z=f(x,y)\) tangenttitaso pisteessä \((a,b)\) on aina kohtisuorassa normaalia \(\mathbf{N} = \mathbf{N}(a,b)\) vastaan ja se kulkee pisteen \(P=(a,b,f(a,b))\) kautta. Merkitään pisteen \(P\) paikkavektoria \(\mathbf{r}_{0}\). Tällaisen tason vektorit \(\mathbf{r} = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3\) toteuttavat yhtälön \[(\mathbf{r} - \mathbf{r}_{0}) \cdot \mathbf{N} = 0. \] Tangenttitasolle saadaan siis yhtälö \[ z=f(a,b) + f_{x}(a,b)(x-a) + f_{y}(a,b)(y-b). \]

Normaalisuoran yhtälöt

Normaalisuora pinnalle \(z=f(x,y)\) pisteessä \(P = (a,b,f(a,b))\) on normaalivektorin \(\mathbf{N}(a,b) = -f_{x}(a,b)\mathbf{i} - f_{y}(a,b)\mathbf{j} + \mathbf{k}\) suuntainen.

Merkitään taas pisteen \(P\) paikkavektoria \(\mathbf{r}_{0}\). Tällöin normaalisuoran pisteet ovat pistejoukko \[ \{ \mathbf{r}_{0} + t \mathbf{N}(a,b) \, : \, t \in \mathbb{R} \}. \] Jos sekä \(f_{x}(a,b) \neq 0\) ja \(f_{y}(a,b) \neq 0\), niin voidaan eliminoida parametri \(t\) ja saadaan yhtälöt \[ \frac{x-a}{f_{x}(a,b)} = \frac{y-b}{f_{y}(a,b)} = \frac{z-f(a,b)}{-1}. \]

Esimerkki

Etsitään tangentti ja normaali pinnalle \(z=\sin(xy)\), kun \(x=\pi/3\) ja \(y=-1\). Tangentti ja normaali kulkevat pisteen \((\pi/3,-1,-\sqrt{3}/2)\) kautta.

Lasketaan osittaisderivaatat: \[\frac{\partial z}{\partial x} = y\cos(xy)\text{ ja } \frac{\partial z}{\partial y} = x\cos(xy).\] Pisteessä \((\pi/3,-1)\) saadaan \[\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{1}{2} \text{ ja } \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\pi}{6}.\] Siten kyseisellä pinnalla on normaalivektori \[ \mathbf{N} = \frac{1}{2}\mathbf{i} - \frac{\pi}{6}\mathbf{j} + \mathbf{k}. \] Tangenttitaso on \[ z= \frac{-\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\Big(x-\frac{\pi}{3}\Big) + \frac{\pi}{6}(y+1). \] Ja normaalisuoran yhtälöiksi saadaan \[ \frac{6x-2\pi}{-3} = \frac{6y+6}{\pi} = \frac{6z+3\sqrt{3}}{-6}. \]