Usean muuttujan reaaliarvoisella funktiolla tarkoitetaan funktiota \(f:D\rightarrow\mathbb{R}\), missä \(D\subset\mathbb{R}^n\), \(n\geq2\) on funktion
määrittelyjoukko. Tällainen funktio siis liittää reaalisiin parametreihin \(x_1,\ldots,x_n\) reaaliluvun \(y=f(x_1,\ldots,x_n)\).
Joskus (erityisesti fysiikassa) tällaista funktiota sanotaan skalaarikentäksi.
Esimerkiksi kaava \(f(r,h)=\pi r^2h\) määrittelee kahden muuttujan \(r,h\) funktion. Tämän funktion arvo on sylinterin tilavuus, kun \(r\) on sen säde ja \(h\) korkeus. Tähän sovellukseen liittyvä funktion määrittelyjoukko on tason ensimmäinen neljännes,
\[
D=\{(r,h)\in \mathbb{R}^2 : r\ge0,\,h\ge 0\},
\]
mutta funktion määräävä matemaattinen kaava on kuitenkin määritelty ja mielekäs kaikilla \((r,h)\in \mathbb{R}^2\), siis myös negatiivisilla luvuilla.
Esimerkki
Funktion \(z=f(x,y)\) kuvaaja, kun
\(f(x,y)=-\frac{6x}{2+x^2+y^2}\)
\(f(x,y)=x^2-y^2\)
Tasa-arvokäyrät
Olkoon \(c\in\mathbb{R}\) vakio, \(D\subset\mathbb{R}^2\) ja \(f\colon D \to \mathbb{R}\) funktio. Tällöin joukko \[C= \{(x,y) : f(x,y)=c\}\] on usein tasokäyrä.
Kyseinen pistejoukko voi olla myös tyhjä (jos \(f\) ei saa arvoa \(c\)) tai vaikkapa koko taso (jos \(f\) on vakio). Mikäli joukko \(C\) on tasokäyrä, sitä sanotaan funktion \(f\) arvoon \(c\) liittyväksi tasa-arvokäyräksi.
Esimerkiksi korkeuskäyrät kartalla ovat tasa-arvokäyriä funktiolle, joka liittää kartalla olevaan pisteeseen \((x,y)\) korkeuden meren pinnasta kyseisessä pisteessä.
Kolmiulotteisessa tapauksessa pistejoukot \[S= \{(x,y,z) : f(x,y,z)=c\}\] ovat yleensä pintoja (eivät siis avaruuskäyriä).
Olkoon \(D\subset \mathbb{R}^n\), \(n \geq 2\) ja \(f\colon D\to \mathbb{R}\) funktio. Oletetaan lisäksi, että piste \(\textbf{y}_0\in \mathbb{R}^n\) on joukon \(D\) kasaantumispiste eli
kaikilla \(r>0\) joukko \[D\cap \{\textbf{x} \in \mathbb{R}^n : 0< \|\textbf{x} - \textbf{y}_0\| < r\}\] on epätyhjä.
Tällöin sanotaan, että funktiolla \(f\) on raja-arvo \(L\) pisteessä \(\textbf{y}_0\) ja merkitään
\[
\lim_{\textbf{x} \to \textbf{y}_0} f(\textbf{x})=L, \quad \text{missä } \textbf{x} = (x_1,\ldots,x_n)\in D,
\]
jos kaikilla \(\varepsilon>0\) on olemassa luku \(\delta = \delta(\varepsilon)\) siten, että
\(| f(\textbf{x}) -L|<\varepsilon\) aina, kun \(0<\|\textbf{x} - \textbf{y}_0\|<\delta\) ja \(\textbf{x} \in D\).
Laskusääntöjä
Olkoot \(D\subset \mathbb{R}^n\), \(n\geq2\), \(\textbf{y}_0\) joukon \(D\) kasaantumispiste ja \(f,g\colon D \to \mathbb{R}\)
sellaisia funktiota, että \(\lim_{\textbf{x} \to \textbf{y}_0} f(\textbf{x}) =L\) ja \(\lim_{\textbf{x} \to \textbf{y}_0} g(\textbf{x}) =M\). Tällöin:
\[
\lim_{\textbf{x} \to \textbf{y}_0} \big(f(\textbf{x}) \pm g(\textbf{x})\big) = L \pm M.
\]\[
\lim_{\textbf{x} \to \textbf{y}_0} f(\textbf{x}) g(\textbf{x}) = LM.
\]\[
\lim_{\textbf{x} \to \textbf{y}_0} \frac{f(\textbf{x})}{g(\textbf{x})} = \frac{L}{M},\text{ jos }M \neq 0.
\]
Jos \(L\in(a,b)\) ja \(F\colon (a,b)\to \mathbb{R}\) on jatkuva pisteessä \(L\), niin
\[
\lim_{\textbf{x} \to \textbf{y}_0} F\big(f(\textbf{x})\big) = F(L).
\]
Raja-arvon tutkiminen käyrien avulla
Yhden muuttujan tapauksessa raja-arvoa tutkitaan yleensä oikean- ja vasemmanpuoleisen raja-arvon avulla.
Tämä ajatus ei kuitenkaan toimi usean muuttujan tapauksessa, koska yleensä on olemassa äärettömän monta suuntaa (eli kyseisen pisteen kautta kulkevaa käyrää),
joista pistettä \(\textbf{y}_0\) voidaan lähestyä joukossa \(D\subset \mathbb{R}^n\), \(n\geq2\).
Mikäli kuitenkin on olemassa kaksi käyrää \(\textbf{r}_1,\textbf{r}_2\colon [a,b]\to D\cup \{\textbf{y}_0\}\),
siten että \(\textbf{r}_1(b)=\textbf{r}_2(b)=\textbf{y}_0\) mutta
\[
\lim_{t\to b} f\big(\textbf{r}_1(t)\big) \neq \lim_{t\to b} f\big(\textbf{r}_2(t)\big),
\]
tai jompaa kumpaa kyseisistä raja-arvoista ei ole määritelty, niin tällöin funktiolla \(f\colon D\to\mathbb{R}\) ei voi olla raja-arvoa pisteessä \(\textbf{y}_0\).
Esimerkki
Tutkitaan funktion \(f(x,y)\) raja-arvoa origon ympäristössä, kun
\[
f(x,y) = \frac{2xy}{x^2+y^2}
\]
Jos origoa lähestytään \(x\)-akselin suunnasta, eli pitkin käyrää \(\mathbf{r}_1(t)=t\mathbf{i}\), saadaan
\[
\lim_{t\to0^+}f(t,0) = \lim_{t\to0^+}\frac{2t\cdot 0}{t^2+0^2} = 0.
\]
Toisaalta suoralla \(x=y\), joka voidaan parametrisoida \(\mathbf{r}_2(t)=t\mathbf{i}+t\mathbf{j}\), saadaan
\[
\lim_{t\to0^+}f(t,t) = \lim_{t\to0^+}\frac{2t\cdot t}{t^2+t^2} = \lim_{t\to0^+}\frac{2t^2}{2t^2} = 1.
\]
Näin ollen funktiolla \(f\) ei ole raja-arvoa origossa.
Esimerkki
Tutkitaan funktion
\[
f(x,y) = \frac{2x^2y}{x^4+y^2}
\]
raja-arvoa origossa.
Koska funktion arvo on nolla koordinaattiakseleilla, sen raja-arvon on oltava nolla (jos se on olemassa). Itse asiassa kaikilla origon kautta kulkevilla suorilla \(\mathbf{r}(t)=t\mathbf{i}+kt\mathbf{j}\) saadaan
\[
f(t,kt) = \frac{2kt^3}{t^4+k^2t^2} = \frac{2kt}{t^2+k^2} \to 0, \text{ kun } t\to 0.
\]
Kuitenkin valinnalla \(\mathbf{r}_1(t) = t\mathbf{i}+t^2\mathbf{j}\) saadaan
\[
\lim_{t\to0}f(t,t^2) = \lim_{t\to0}\frac{2t^4}{t^4+t^4} = 1.
\]
Siten tälläkään funktiolla ei ole raja-arvoa origossa.
Esimerkki
Osoitetaan, että
\[
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2} = 0.
\]
Käyttämällä epäyhtälöä \(x^2\leq x^2 + y^2\) saadaan
\[
\left|f(x,y)-0\right| = \left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\leq |y|\leq \sqrt{x^2+y^2} \to 0, \text{ kun } (x,y)\to(0,0).
\]
Formaalisti: Raja-arvon määritelmän ehto toteutuu, jos valitaan \(\delta=\epsilon\).
Jatkuvuus
Olkoon \(D\subset \mathbb{R}^n\), \(n\geq 2\) ja \(\textbf{x}_0 \in D\). Funktio \(f\colon D\to \mathbb{R}\) on jatkuva pisteessä \(\textbf{x}_0\), jos
\[
\lim_{\textbf{x} \to \textbf{x}_0} f(\textbf{x}) = f(\textbf{x}_0).
\]
Funktio on jatkuva joukossa \(D\), jos se on jatkuva jokaisessa joukon \(D\) pisteessä.